Question

如图，AB为圆O的直径，点E、F在圆O上，矩形ABCD所在的平面和圆O所在的平面互相垂直，且AB=2，AD=EF=1．（

如图，AB为圆O的直径，点E、F在圆O上，矩形ABCD所在的平面和圆O所在的平面互相垂直，且AB=2，AD=EF=1．（1）求证：AF⊥平面CBF；（2）求三棱锥C-OEF的体积．

Answer 1

证明：（1）∵平面ABCD⊥平面ABEF，CB⊥AB，
平面ABCD∩平面ABEF=AB
∴CB⊥平面ABEF∵AF?平面ABEF
∴AF⊥CB
又AB为圆O的直径∴AF⊥BF
∴AF⊥平面CBF
解：（2）过点F作FG⊥AB于G
∵平面ABCD⊥平面ABEF，
∴FG⊥平面ABCD，FG即正△OEF的高
∴FG=

3

2

∴S_△OBC=

1

2

（2）解：由（1）知CB⊥平面ABEF，即CB⊥平面OEF，
∴三棱锥C-OEF的高是CB，
∴CB=AD=1，…（8分）
连接OE、OF，可知OE=OF=EF=1
∴△OEF为正三角形，
∴正△OEF的高是

3

2

，…（10分）
∴三棱锥C-OEF的体积v=

1

3

?CB?S_△OEF=

3

12

，…（12分）