Question

（2014?台山市模拟）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，点M、N分别为AB，AC边的中点，点D为BC边

（2014?台山市模拟）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，点M、N分别为AB，AC边的中点，点D为BC边的中点，动点P从点A出发，沿射线AB方向移动，作∠PDQ=90°，点Q在AC上，设AP=x，CQ=y．（1）证明：△PDM∽△QDN；（2）求y与x的函数关系式，并求x的取值范围；（3）问x为何值时，△CDQ是等腰三角形？

Answer 1

（1）∵点M、N分别为AB，AC边的中点，点D为BC边的中点，
∴DM，DN是中位线，
∵∠A=90°，
∴∠DMP=∠DNQ=∠MDN=90°，
∵∠PDQ=90°，
∴∠PDM=90°-∠PDN，∠QDN=90-∠PDN，
∴∠PDM=∠QDN，
∴△PDM∽△QDN；              

（2）∵AB=6，AC=8，
∴DM=4，DN=3，
∵△PDM∽△QDN，
∴

PM

QN

=

DM

DN

=

4

3

，
∴QN=

3

4

PM，
若点P在AM上，则点Q在CN上，PM=3-x，QN=

3

4

（3-x），y=CQ=CN-QN=4-

3

4

（3-x）=

7

4

+

3

4

x，
若点P在MB上，则点Q在NA上，PM=x-3，QN=

3

4

（x-3），y=CQ=CN+QN=4+

3

4

（x-3）=

7

4

+

3

4

x，
∴所求的函数关系式是y=

3

4

x+

7

4

，
当点Q与点A重合时，即CQ=8，此时，

3

4

x+

7

4

=8，
解得：x=

25

3

，
∴x的取值范围是0≤x≤

25

3

；      

（3）∵点D为Rt△ABC斜边BC的中点，
∴DA=DC=5，
由（2）可知，点Q与点A重合，△CDQ是等腰三角形，此时，x=

25

3

，
若CQ=CD=5，QN=CQ-CN=1，此时PM=

4

3

QN=

4

3

，
x=AP=3+

4

3

=

13

3

，
若CQ=DQ，过点Q作QE⊥DC，则CE=

5

2

，cos∠C=

CE

CQ

，
在Rt△ABC中，cos∠C=

AC

BC

=