Question

（1）证明：|a+b|+|a-b|≥2|a|，并说明等号成立的条件；（2）若不等式|a+b|+|a-b|≥|a|（|x-2|+|x-3|）对

（1）证明：|a+b|+|a-b|≥2|a|，并说明等号成立的条件；（2）若不等式|a+b|+|a-b|≥|a|（|x-2|+|x-3|）对任意的实数a（a≠0）和b恒成立，求实数x的取值范围．

Answer 1

（1）证明：|a+b|+|a-b|≥|（a+b）+（a-b）|=2|a|，…3分
当且仅当（a-b）（a+b）≥0时等号成立，即|a|≥|b|…5分
（2）解：由（1）得

|a+b|+|a?b|

|a|

≥2，即

|a+b|+|a?b|

|a|

的最小值为2，
于是|x-2|+|x-3|≤2…6分
当x＜2时，原不等式化为-（x-2）-（x-3）≤2，解得x≥

3

2

，
所以x的取值范围是

3

2

≤x＜2；…7分
当2≤x≤3时，原不等式化为（x-2）-（x-3）≤2，即-5≤2恒成立，
所以x的取值范围是2≤x≤3；…8分
当x＞3时，原不等式化为（x-2）+（x-3）≤2，解得x≤

7

2

，
所以x的取值范围是3＜x≤

7

2

；…9分
综上所述，x的取值范围是

3

2

≤x≤

7

2

…10分