Question

已知函数f（x）=ex+2x2-3x．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（1，f （1））处的切线方程；（Ⅱ）当x≥1时，若关

已知函数f（x）=ex+2x2-3x．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（1，f （1））处的切线方程；（Ⅱ）当x≥1时，若关于x的不等式f（x）≥52x2+（a-3）x+1恒成立，试求实数a的取值范围．

Answer 1

（I）f′（x）=e^x+4x-3则f'（1）=e+1，又f（1）=e-1
∴曲线y=f（x）在点（1，f （1））处的切线方程为y-e+1=（e+1）（x-1）
即（e+1）x-y-2=0
（II）由f（x）≥

5

2

x²+（a-3）x+1得
e^x+2x²-3x≥

5

2

x²+（a-3）x+1即ax≤e^x-

1

2

x²-1
∵x≥1∴a≤

ex? 1 2 x2?1

x

记g（x）=

ex? 1 2 x2?1

x

，则g'（x）=

ex(x?1)? 1 2 x2+1

x2

 记φ（x）=e^x（x-1）-

1

2

x²+1则φ′（x）=x（e^x-1）
∵x≥1，φ′（x）＞0，∴φ（x）在[1，+∞）上单调递增
∴g（x）≥φ（1）=

1

2

＞0
∴g'（x）＞0，∴g（x）在[1，+∞）上单调递增
∴g（x）≥g（1）=e-

3

2

由a≤g（x）恒成立，得a≤g（x）_min，
∴a≤e-

3

2

即a的取值范围是（-∞，e-

3

2

]