Question

如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥平面ABC，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，且AB=AA1，D，E，F分

如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥平面ABC，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，且AB=AA1，D，E，F分别是B1A，CC1，BC的中点．（1）求证：B1F⊥平面AEF；（2）求二面角B1-AE-F的正切值．

Answer 1

证明：（1）等腰直角三角形△ABC中F为斜边的中点，
∴AF⊥BC
又∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，
∴面ABC⊥面BB₁C₁C，
∴AF⊥面C₁B，
∴AF⊥B₁F
设AB=AA₁=1，
∴B1F＝

6

2

，EF＝

3

2

，B1E＝

3

2

，
∴B₁F²+EF²=B₁E²，
∴B₁F⊥EF
又AF∩EF=F，
∴B₁F⊥面AEF
解：（2）∵B₁F⊥面AEF，
作B₁M⊥AE于M，连接FM，
∴∠B₁MF为所求
又∵FM＝

3

10

，
所求二面的正切值为

5