Question

试证当n为正整数时，f（n）=32n+2-8n-9能被64整除．？

Answer 1

解题思路：证法一：利用数学归纳法即可证明；
证法二：利用二项式定理即可证明．
证法一：（1）当n=1时，f（1）=64，命题显然成立．
（2）假设当n=k（k∈N*，k≥1）时，f（k）=32k+2-8k-9能被64整除．
当n=k+1时，由于32（k+1）+2-8（k+1）-9
=9（32k+2-8k-9）+9•8k+9•9-8（k+1）-9=9（32k+2-8k-9）+64（k+1），
即f（k+1）=9f（k）+64（k+1），∴n=k+1时命题也成立．
根据（1）、（2）可知，对于任意n∈N*，命题都成立．
证法二：32n+2-8n-9=9（8+1）n-8n-9
=9(8n+
C1n8n−1+…+
Cn−1n8+
Cnn)-8n-9
=9(8n+
C1n8n−1+…+
Cn−2n82)+64n+64n，
∵各项均能被64整除，
∴32n+2-8n-9能被64整除．
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