Question

过椭圆x2/a2+y2/b2=1的左焦点且垂直于X轴的直线交椭圆于M，N两点，以MN为直径的圆恰好过椭圆的右焦点，

求该椭圆的离心率

Answer 1

设:
F1(-c,0)
M(-c,y1) (y1>0)
有:
c^2/a^2 +(y1)^2 /b^2=1
解得:y1=(b/a)根号(a^2-c^2)=(b/a)*b=b^2/a.
由条件知,所述圆的半径为2c.
故令:y1=2c, 即:b^2/a=2c
即b^2=2ac,
即:a^2-c^2=2ac.
得:c^2+2ac-a^2=0
e^2+2e-1=0
求得:e=[-2+根号(4+4)]/2=-1+根号2.
即为所求.

Answer 2

依题知，M（-c，±2c），代入椭圆方程得，c^2／a^2+4c^2／（a^2-c^2）=1,解得e=√2-1。
一楼答案太繁。圆锥曲线求离心率方法，首选极坐标，次选平面几何，三选定义，四选一楼的方法。