Question

如图，△ABC是等边三角形，⊙O过点B、C，且与BA、CA的延长线分别交于点D、E。弦DF／／AC，交⊙O于点F，EF

如图，△ABC是等边三角形，⊙O过点B、C，且与BA、CA的延长线分别交于点D、E。弦DF／／AC，交⊙O于点F，EF的延长线交BC的延长线于点G。

（1）求证：△BEF是等边三角形；

（2）若BA＝4,CG＝2,求BF的长度。

Answer 1

1、因为DF／／AC，所以角DFE=角CEF，

因为角DFE=角EBD，角CEF=角CBF，所以角DBE＝角CBF

角EBF＝角EBD+角DBF=角CBF+角DBF＝角ABC＝60度

又因为角EFB＝角ECB＝60度，所以对三角形BEF内有两个角是60度，所以三角形BEF为正三角形。 

2、连接CF、DE，设AD与EF交点为H点，

由题意可知三角形ADE为小正三角形，设边长为a,

依题意可知DF＝BC＝4，CF=a,且CF平行BD

可得CF：BH=CG：BG，a：（4+AH）=2：6，得AH=3*a-4

则DH＝AD－AH＝a-(3*a-4)=4-2*a

因AH平行CF，所以AH：CF=EA：EC，（3*a-4):a=a:(a+4)

解得，a=2*（根号3）-2

BD=AB+AD=4+2*（根号3）-2=2*（根号3）+2

在三角形BDF中，用余弦定理可得

BF平方=BD平方+DF平方-2*BD*DF*cos60=32

BF=4*（根号2）

Answer 2

连结CF，
∵∠BFG=180°-∠BFE=120°，
∠BCF=120°，
∴∠BFG=∠BCF,
又∵∠FBG=∠GBF
∴△BCF∽△BFG
∴BC/BF=BF/BG
即BF²=BC*BG=4*6=24，
∴BF=2根号6

Answer 3

（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BCA=∠BAC=60°，
∵DF∥AC，
∴∠D=∠BAC=60°，∠BEF=∠D=60°
又∵∠BFE=∠BCA=60°，
∴△BEF是等边三角形．

（2）解：∵∠ABC=∠EBF=60°，
∴∠FBG=∠ABE，
又∠BFG=∠BAE=120°，
∴△BFG∽△BAE，
∴BFBA=
BGBE，
又BG=BC+CG=AB+CG=6，BE=BF，
∴BF2=AB•BG=24，
可得BF=26（舍去负值）．