Question

已知二次型f(x1,x2,x3)=2x1^2+2x2^2+2x3^2+2x1x2求正交变换?

Answer 1

首先，写出二次型对应的矩阵：
A = [2 1 0;
1 2 0;
0 0 2]
然后，对称矩阵A可以通过正交对角化来得到标准型，即找到一个正交矩阵P，使得P^TAP=D，其中D是对角矩阵。
由于A是对称矩阵，可以使用特征值分解来对角化，即
A = PDP^T
其中P是由特征向量组成的正交矩阵，D是由特征值组成的对角矩阵。求出A的特征值和特征向量如下：
首先，求解特征多项式：
det(A - λI) = 0
=> (2-λ) [(2-λ)^2-1] = 0
=> λ1 = 3, λ2 = 1, λ3 = 2
然后，求解每个特征值对应的特征向量：
对于λ1=3，解得特征向量为
[1;
1;
0]
对于λ2=1，解得特征向量为
[0;
0;
1]
对于λ3=2，解得特征向量为
[1;
-1;
0]
将特征向量单位化，得到正交矩阵P为
P = [1/√2 0 1/√2;
1/√2 0 -1/√2;
0 1 0 ]
即可将原二次型f(x1,x2,x3)通过正交变换转化为标准型：
f(x1', x2', x3') = 3x1'^2 + x2'^2 + 2x3'^2
其中，x1' = (1/√2)x1 + (1/√2)x3, x2' = (1/√2)x1 - (1/√2)x3, x3' = x2.