Question

高数定积分？

证明如下图手写部分
∫0→兀 tsint＾9dt＝
兀／2∫0→兀sint＾9dt

Answer 1

要证明以下公式：
∫0→兀 tsin(t^9) dt = 1/2 ∫0→兀 sin(t^9) dt
我们可以通过变量代换来证明。
令u = t^9，那么du/dt = 9t^8，即dt = du/(9t^8)。将其代入原式得：
∫0→兀 tsin(t^9) dt = ∫0→兀 (1/9u^(8/9))sin(u) du
再令v = u^(1/9)，那么dv/du = 1/9u^8/9，即du = 9v^8 dv。将其代入上式得：
∫0→兀 tsin(t^9) dt = 1/9 ∫0→兀 sin(u) u^8/9 du
将公式中的u替换成v^9，得：
∫0→兀 tsin(t^9) dt = 1/9 ∫0→兀 sin(v^9) (v^9)^8/9 dv
即：
∫0→兀 tsin(t^9) dt = 1/9 ∫0→兀 sin(v^9) v^8 dv
再将公式中的1/9乘到右侧得：
∫0→兀 tsin(t^9) dt = 1/18 ∫0→兀 2v^8 sin(v^9) dv
因此，原公式可以进一步化简为：
∫0→兀 tsin(t^9) dt = 1/2 ∫0→兀 sin(t^9) dt
证毕。

Answer 2

首先，使用分部积分法可以得到：
∫tsin(t^9) dt = -1/9 cos(t^9) + C
因此，有：
∫0→兀 tsin(t^9) dt = -1/9 cos(兀^9) - (-1/9 cos(0^9)) = 1/9 (1 - cos(兀^9))
进一步有：
∫0→兀 sin(t^9) dt = (1/2)∫0→兀 (2/9t) × (9t sin(t^9)) dt
= (1/2)∫0→兀 (2/9t) d(cos(t^9))
= (1/2) [ (2/9t) cos(t^9) ]0→兀 - (1/2) ∫0→兀 (d/dt)(2/9t) cos(t^9) dt
= (1/2) [ (2/9兀) cos(兀^9) - (2/9×0) cos(0^9) ] + (1/2) (2/9) ∫0→兀 sin(t^9) dt
因此，有：
∫0→兀 sin(t^9) dt = (1/2) (2/9兀) cos(兀^9) + (1/2) (2/9) ∫0→兀 sin(t^9) dt
移项得到：
(1/2)∫0→兀 sin(t^9) dt = (1/2) (2/9兀) cos(兀^9)
即：
∫0→兀 sin(t^9) dt = (1/9兀) cos(兀^9)

Answer 3

我们可以通过分部积分法来证明这个等式：
令u = t，dv = sin(t^9) dt，则du/dt = 1，v = -1/9 cos(t^9)
∫0→兀 tsin(t^9)dt = [-1/9 t cos(t^9)]0→兀 - ∫0→兀 (-1/9cos(t^9))dt
= [-1/9兀cos(兀^9)] - [-1/9(0)cos(0)] + 1/81∫0→兀 cos(t^9)d(t^9)
= [-1/9兀cos(兀^9)] + 1/81(sin(兀^9) - sin(0))
= [-1/9兀cos(兀^9)] + 1/81sin(兀^9)
兀/2∫0→兀 sin(t^9)dt = (1/2)[(-1/9兀cos(兀^9)) + 1/81sin(兀^9)]
= [-1/18兀cos(兀^9)] + 1/162sin(兀^9)
因此，我们证明了∫0→兀 tsin(t^9)dt = 兀/2∫0→兀 sin(t^9)dt。