刚体转动惯量的测定-样本_刚体转动惯量的测定注意事项
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第一章 刚体转动惯量的测定
刚体的转动惯量是描述刚体转动惯性大小的物理量，转动惯量不仅取决于刚体的总质量，还与刚体的形状、质量分布以及转轴位置有关。对于质量分布均匀、具有规则几何形状的刚体，可以通过数学方法计算出它绕给定转动轴的转动惯量。对于质量分布不均匀、没有规则几何形状的刚体，通常采用实验的方法来进行测定。在生物医学工程方面利用转动惯性混合或分离混合液具有十分重要的意义。
实验上测定刚体转动惯量的方法很多，如三线摆法、扭摆法、复摆法、恒力矩转动法等。本实验采用恒力矩转动法测定转动惯量。
一. 实验目的
1. 掌握恒力矩转动法测定刚体转动惯量的原理和方法；
2. 观测转动惯量随刚体质量、质量分布以及转轴的不同而改变的状况； 3. 研究外力矩与刚体角加速度的关系，验证刚体转动定律和平行轴定理。
二. 实验器材
ZKY-WZS刚体转动惯量试验仪，圆盘1个、圆环1个、圆柱2个，砝码托1个，5g砝码1个，10g砝码4个，细线，水准器，螺丝刀，钢卷尺1个，游标卡尺1把，数字天平1台公用。
三. 实验原理
1. 恒力矩转动法测定转动惯量
根据刚体的定轴转动定律：刚体绕定轴转动时，刚体的角加速度α与它所受的合外力矩M成正比，与刚体的转动惯量J成反比：
M=Jα （1）
只要测定刚体在转动时所受的合外力矩M及在该力矩作用下刚体转动的角加速度α，就可以计算出该刚体的转动惯量J。
设空载物盘转动惯量为J1，给一初始角速度，在摩擦力矩Mμ的作用下，载物盘将以角加速度α1作减速运动，这里近似取摩擦力与速度成正比关系，则有：
Mμ=kv⋅r=kr2ω=Kω=−J1α1 （2）
式中ω、α为即时角速度、角加速度，在下面实验中取平均值。
将质量为m的砝码用细线绕在半径为R的载物盘塔轮上，让砝码下落，系统在恒外力矩作用下将作加速运动。若砝码的加速度为a，则细线所受张力为T=m(g−a)。设此时载物盘的角加速度为α2，则有a=Rα2。细线施加给载物盘的力矩为
M=TR=mR(g−Rα2) （3）
此时合力矩有：
M−Mμ=mR(g−Rα2)−kr2ω=J1α2 （4）
当（2）、（4）两式中角速度ω相等可联立消去Mμ，可得载物盘转动惯量：
J1=
mR(g−Rα2)
（5）
α2−α1
由转动惯量的迭加原理可知，若在载物盘上加上被测物体后系统的转动惯量为J2，被测试件的转动惯量J3为：
J3=J2−J1 （6）
2. 角加速度α的测量
实验中固定在载物台圆周边缘相差π角的两遮光细棒，每转动半圈遮挡一次固定在底座上的光电门,数字存贮毫秒计自动记录遮挡次数和相应的时间。第一次挡光计次为0，时间为0，设初始角速度为ω0，则对于变速运动中测量得到的任意两组数据(i,ti)、(j,tj)，相应的角位移θi、θj分别为：
1
θi=iπ=ω0ti+αti2 （7）
21
θj=jπ=ω0tj+αt2j （8）
2
从（7）、（8）两式中消去ω0，可得角加速度：
α=
2π(itj−jti)ti2tj−t2jti
（9）
为减少误差，两组数据选同一遮光细棒不同挡光记录进行计算。
3. 转动惯量理论值
圆盘、圆柱绕其质心即几何中心轴转动的转动惯量理论值为：
J=
（10） 圆环绕其质心即几何中心轴的转动惯量理论值为：
1mR22
J=
4. 平行轴定理
m22R外+R内2 （11）
()
理论分析表明，质量为m的物体围绕通过质心O的转轴转动时的转动惯量JC最小。当转轴平行移动距离d后，绕新轴的转动惯量为：
J=JC+md2 （12）
实验中保持砝码质量、塔轮半径不变，改变两个圆柱位置对应转动惯量为：
2
（13） J=J1+2JC+md12+md2
1
mR2为圆柱绕其质心转动惯量, md2为圆柱2
质心相对转轴平行移动距离d后的转动惯量。
式中J1为金属载物盘的转动惯量, JC=
四. 实验仪器介绍
1．ZKY-ZS转动惯量实验仪
转动惯量实验仪如图1所示，绕线塔轮通过特制的轴承安装在主轴上，转动时的摩擦力
矩很小,塔轮半径为15，20，25，30，35mm共5档。载物台上有十字分布可插入圆柱试样的圆孔，这些孔与中心轴的距离分别为45,60,75,90,105mm。铝制小滑轮的转动惯量与载
物盘相比可忽略不记。一只光电门作测量，一只作备用。
图1刚体转动惯量实验仪
2．刚体转动惯量测试仪
图2刚体转动惯量测试仪操作面板
液晶显示屏：显示实验内容和实验测量数据。 数字键：“0～9”10个数字按键用于实验中对测量物体的参数进行设置（如圆盘、圆柱
的质量、塔轮半径等）。
确定键：确定当前选中实验、参数设置，以及完成一次实验。 ↑↓键：用于选择实验内容。
←→键：用于测量物体参数设置时移动光标，查询测量数据。
清零键：在进行每组实验前，将当前的显示数据清除；以及在实验选项界面清除选项数
据或全部数据。
取消键：取消或退出当前的操作，进入到“返回上一步”和“返回实验选项菜单”界面，
这时可以根据需要选择返回界面。
五. 实验内容及步骤
1. 安装调试刚体转动惯量实验仪
移动转动惯量实验仪，固定滑轮支架将其伸出实验台面边缘。用数据线将测试仪与转动惯量实验仪中一个光电门相连。将水准器放在金属载物盘的中心，调节基座上的三个调平螺钉，将仪器调平。
2. 用恒力矩转动法测量金属载物盘的转动惯量
（1）减速测量：
接通电源，选择“金属载物盘”，按“确认”进入减速测量待计时状态。确认载物盘上无其他物品后，用手轻轻拨动载物盘，产生一个初始转速，载物盘在摩擦力矩的作用下做减速运动；按“确定”键开始计时，当光电门被遮挡9次后，计时自动结束；按←→键查询实验数据，并记录在表1左侧“减速”部分。
（2）加速测量： 按“取消”键、“确定”键，选择“返回上一步”，“加速”进入测量待计时状态。按照提示手动输入选择的塔轮半径和砝码质量；将1端打结的细线在选定的塔轮半径处系一道并沿塔轮上开的细缝塞入固定，细线另1端通过滑轮后连接到砝码托的挂钩上；调整滑轮高度及方位，使滑轮槽与塔轮槽等高，方位与绳同向；转动载物盘不重叠的将细绳密绕于塔轮上，释放载物台，砝码重力产生的恒力矩使载物盘产生加速转动；按“确定”键进行测量，计时自动结束后，按←→键查询实验数据，并将数据记录在表1右侧“加速”部分。
（3）用逐差法处理数据
在测量结果中，将数据分为4组，用下式计算各组对应的角加速度。
2π[iti+4−(i+4)ti]α=
titi+4(ti−ti+4)对减速和加速分别求出角加速度的平均值作为测量结果。
表1 金属载物盘转动惯量的测量（恒力矩法）
8 3. 改变力矩的大小，测量金属载物盘的转动惯量
采用“加速”实验，改变砝码的质量，即改变力矩的大小，进行多次测量，利用公式（4）测量金属载物盘的转动惯量和转动的摩擦力矩。
（1）选择塔轮半径R=25mm，将4个10g的砝码从砝码托上卸下，仅留1个5g砝码，此时砝码托上的质量约为10g，用天平称量出准确值，记为m1；
（2）将细线绕在所选塔轮上，另一端通过滑轮，悬挂好砝码。将载物盘从同一位置静止释放，按“确定”键开始计时，记录遮光棒8组通过光电门的时间。 （3）按“取消”键选择“返回上一步”，逐个增加砝码，重复第（2）步实验，直到所有砝码都测量完毕。
注意：每增加一个砝码后，要重新称量加载砝码的总质量mi，i=1,L,5；砝码的初始位置要合适，当遮光棒第9次通过光电门时，砝码未落地，即保证转动过程中力矩不变。
表2 金属载物盘转动惯量的测量（变力矩法），塔轮半径R = m
转动惯量：J1= (kg⋅m2) ，平均摩擦力矩：Mμ= （Nm）
4. 验证平行轴定理
将两个圆柱对称插入载物盘上距离中心轴两侧最近的两个圆孔（1-1），进行“加速”实验，将测量数据填入表5，验证平行轴定理。 （1） 选择塔轮半径，测量砝码质量m、圆柱质量m0及半径R。将细线绕在所选塔轮上，
另一端通过滑轮，悬挂好砝码。 （2） 将载物盘从同一位置静止释放，按“确定”键开始计时，记录测量时间。 （3） 用“取消”键选择“返回上一步”，改变两个圆柱的位置（2-2、3-3、4-4、5-5、1-5），
依次向外移动，重复步骤(2)。 （4） 依据相关公式计算两个圆柱转动惯量的测量值（公式（4）、（6））与理论值（公式（13）），
验证平行轴定理（公式（12））成立。
表5 验证平行轴定理： 塔轮半径R= m、质量m= kg，圆柱质量m0= kg、半径R0= m
注意：J=(M−Mμ)−J1，M=mR(g−R，J理论=2JC+md12+md22，其中J1为金属载物盘的转动惯量，Mμ为金属载物盘的平均摩擦力矩，用实验项目3的结果代入。
5．通过实验，分析误差产生的原因
任选被测试样圆盘、圆环，保持转动惯量不变，进行以下实验： （1） 使载物盘以不同初速度开始旋转，进行4次“减速”实验，计算角加速度，比较分析
测量结果； （2） 保持砝码质量不变，改变塔轮半径15，20，25，30mm，进行4次“加速”实验，计
算角加速度，比较分析测量结果； （3） 选择你认为合适的“减速”测量结果，结合不同塔轮测量出的角加速度，计算被测试
样的转动惯量，比较分析测量结果。 （数据表格参照表1自行设计）
注意：选择不同的塔轮半径时，砝码的初始位置要合适，确认当遮光棒第9次通过光电门时，砝码未落地，即保证转动过程中力矩不变。
6. 测量不同试样的转动惯量（参考）
（1）圆环的转动惯量：将圆环放置在载物盘上，在“实验选项”中选择“圆环”，分别进行减速和加速测量。此时测量所得的转动惯量J2是圆环的转动惯量J3与金属载物盘的转
′=105mm。圆环的质量m′=436g，圆环的外径R1′=120mm，圆环的内径R2 动惯量J1的叠加。
m′2
′2)= (kg⋅m2) R1′+R2(2
（2）圆盘的转动惯量：将圆盘放置在载物盘上，在“实验选项”中选择“圆盘”，分别′=测量值J3=J2-J1= (kg⋅m2)，理论值J3
进行减速和加速测量。此时测量所得的转动惯量J4是圆盘的转动惯量J5与金属载物盘的转动惯量J1的叠加。圆盘的质量m′=475g，圆盘的半径R′=120mm。
′=测量值J5=J4-J1= (kg⋅m2)，理论值J5
1
m′R′2= (kg⋅m2) 2
（3）圆柱的转动惯量：将两个圆柱插入载物盘上的任意两个圆孔中，记录圆孔的位置d1和d2。在“实验选项”中选择“圆柱”，分别进行减速和加速测量。此时测量所得的转动惯量J6是圆柱组合的转动惯量J7与金属载物盘的转动惯量J1的叠加。单个圆柱的质量
m′=165.5g，圆柱的半径R′=15mm，用平行轴定理计算理论值。
测量值J7=J6-J1= (kg⋅m2)
2
′=m′R′2+m′d12+m′d2= (kg⋅m2) 理论值J7
六. 思考题
1、 影响刚体转动惯量大小的因素有哪些？
2、 本实验仪器和测量方法中有哪些影响测量准确度的因素？
3、 在做减速转动实验时，给定初始转速的大小是否会影响测量结果？为什么？
刚体的转动惯量是描述刚体转动惯性大小的物理量，转动惯量不仅取决于刚体的总质量，还与刚体的形状、质量分布以及转轴位置有关。对于质量分布均匀、具有规则几何形状的刚体，可以通过数学方法计算出它绕给定转动轴的转动惯量。对于质量分布不均匀、没有规则几何形状的刚体，通常采用实验的方法来进行测定。在生物医学工程方面利用转动惯性混合或分离混合液具有十分重要的意义。
实验上测定刚体转动惯量的方法很多，如三线摆法、扭摆法、复摆法、恒力矩转动法等。本实验采用恒力矩转动法测定转动惯量。
一. 实验目的
1. 掌握恒力矩转动法测定刚体转动惯量的原理和方法；
2. 观测转动惯量随刚体质量、质量分布以及转轴的不同而改变的状况； 3. 研究外力矩与刚体角加速度的关系，验证刚体转动定律和平行轴定理。
二. 实验器材
ZKY-WZS刚体转动惯量试验仪，圆盘1个、圆环1个、圆柱2个，砝码托1个，5g砝码1个，10g砝码4个，细线，水准器，螺丝刀，钢卷尺1个，游标卡尺1把，数字天平1台公用。
三. 实验原理
1. 恒力矩转动法测定转动惯量
根据刚体的定轴转动定律：刚体绕定轴转动时，刚体的角加速度α与它所受的合外力矩M成正比，与刚体的转动惯量J成反比：
M=Jα （1）
只要测定刚体在转动时所受的合外力矩M及在该力矩作用下刚体转动的角加速度α，就可以计算出该刚体的转动惯量J。
设空载物盘转动惯量为J1，给一初始角速度，在摩擦力矩Mμ的作用下，载物盘将以角加速度α1作减速运动，这里近似取摩擦力与速度成正比关系，则有：
Mμ=kv⋅r=kr2ω=Kω=−J1α1 （2）
式中ω、α为即时角速度、角加速度，在下面实验中取平均值。
将质量为m的砝码用细线绕在半径为R的载物盘塔轮上，让砝码下落，系统在恒外力矩作用下将作加速运动。若砝码的加速度为a，则细线所受张力为T=m(g−a)。设此时载物盘的角加速度为α2，则有a=Rα2。细线施加给载物盘的力矩为
M=TR=mR(g−Rα2) （3）
此时合力矩有：
M−Mμ=mR(g−Rα2)−kr2ω=J1α2 （4）
当（2）、（4）两式中角速度ω相等可联立消去Mμ，可得载物盘转动惯量：
J1=
mR(g−Rα2)
（5）
α2−α1
由转动惯量的迭加原理可知，若在载物盘上加上被测物体后系统的转动惯量为J2，被测试件的转动惯量J3为：
J3=J2−J1 （6）
2. 角加速度α的测量
实验中固定在载物台圆周边缘相差π角的两遮光细棒，每转动半圈遮挡一次固定在底座上的光电门,数字存贮毫秒计自动记录遮挡次数和相应的时间。第一次挡光计次为0，时间为0，设初始角速度为ω0，则对于变速运动中测量得到的任意两组数据(i,ti)、(j,tj)，相应的角位移θi、θj分别为：
1
θi=iπ=ω0ti+αti2 （7）
21
θj=jπ=ω0tj+αt2j （8）
2
从（7）、（8）两式中消去ω0，可得角加速度：
α=
2π(itj−jti)ti2tj−t2jti
（9）
为减少误差，两组数据选同一遮光细棒不同挡光记录进行计算。
3. 转动惯量理论值
圆盘、圆柱绕其质心即几何中心轴转动的转动惯量理论值为：
J=
（10） 圆环绕其质心即几何中心轴的转动惯量理论值为：
1mR22
J=
4. 平行轴定理
m22R外+R内2 （11）
()
理论分析表明，质量为m的物体围绕通过质心O的转轴转动时的转动惯量JC最小。当转轴平行移动距离d后，绕新轴的转动惯量为：
J=JC+md2 （12）
实验中保持砝码质量、塔轮半径不变，改变两个圆柱位置对应转动惯量为：
2
（13） J=J1+2JC+md12+md2
1
mR2为圆柱绕其质心转动惯量, md2为圆柱2
质心相对转轴平行移动距离d后的转动惯量。
式中J1为金属载物盘的转动惯量, JC=
四. 实验仪器介绍
1．ZKY-ZS转动惯量实验仪
转动惯量实验仪如图1所示，绕线塔轮通过特制的轴承安装在主轴上，转动时的摩擦力
矩很小,塔轮半径为15，20，25，30，35mm共5档。载物台上有十字分布可插入圆柱试样的圆孔，这些孔与中心轴的距离分别为45,60,75,90,105mm。铝制小滑轮的转动惯量与载
物盘相比可忽略不记。一只光电门作测量，一只作备用。
图1刚体转动惯量实验仪
2．刚体转动惯量测试仪
图2刚体转动惯量测试仪操作面板
液晶显示屏：显示实验内容和实验测量数据。 数字键：“0～9”10个数字按键用于实验中对测量物体的参数进行设置（如圆盘、圆柱
的质量、塔轮半径等）。
确定键：确定当前选中实验、参数设置，以及完成一次实验。 ↑↓键：用于选择实验内容。
←→键：用于测量物体参数设置时移动光标，查询测量数据。
清零键：在进行每组实验前，将当前的显示数据清除；以及在实验选项界面清除选项数
据或全部数据。
取消键：取消或退出当前的操作，进入到“返回上一步”和“返回实验选项菜单”界面，
这时可以根据需要选择返回界面。
五. 实验内容及步骤
1. 安装调试刚体转动惯量实验仪
移动转动惯量实验仪，固定滑轮支架将其伸出实验台面边缘。用数据线将测试仪与转动惯量实验仪中一个光电门相连。将水准器放在金属载物盘的中心，调节基座上的三个调平螺钉，将仪器调平。
2. 用恒力矩转动法测量金属载物盘的转动惯量
（1）减速测量：
接通电源，选择“金属载物盘”，按“确认”进入减速测量待计时状态。确认载物盘上无其他物品后，用手轻轻拨动载物盘，产生一个初始转速，载物盘在摩擦力矩的作用下做减速运动；按“确定”键开始计时，当光电门被遮挡9次后，计时自动结束；按←→键查询实验数据，并记录在表1左侧“减速”部分。
（2）加速测量： 按“取消”键、“确定”键，选择“返回上一步”，“加速”进入测量待计时状态。按照提示手动输入选择的塔轮半径和砝码质量；将1端打结的细线在选定的塔轮半径处系一道并沿塔轮上开的细缝塞入固定，细线另1端通过滑轮后连接到砝码托的挂钩上；调整滑轮高度及方位，使滑轮槽与塔轮槽等高，方位与绳同向；转动载物盘不重叠的将细绳密绕于塔轮上，释放载物台，砝码重力产生的恒力矩使载物盘产生加速转动；按“确定”键进行测量，计时自动结束后，按←→键查询实验数据，并将数据记录在表1右侧“加速”部分。
（3）用逐差法处理数据
在测量结果中，将数据分为4组，用下式计算各组对应的角加速度。
2π[iti+4−(i+4)ti]α=
titi+4(ti−ti+4)对减速和加速分别求出角加速度的平均值作为测量结果。
表1 金属载物盘转动惯量的测量（恒力矩法）
8 3. 改变力矩的大小，测量金属载物盘的转动惯量
采用“加速”实验，改变砝码的质量，即改变力矩的大小，进行多次测量，利用公式（4）测量金属载物盘的转动惯量和转动的摩擦力矩。
（1）选择塔轮半径R=25mm，将4个10g的砝码从砝码托上卸下，仅留1个5g砝码，此时砝码托上的质量约为10g，用天平称量出准确值，记为m1；
（2）将细线绕在所选塔轮上，另一端通过滑轮，悬挂好砝码。将载物盘从同一位置静止释放，按“确定”键开始计时，记录遮光棒8组通过光电门的时间。 （3）按“取消”键选择“返回上一步”，逐个增加砝码，重复第（2）步实验，直到所有砝码都测量完毕。
注意：每增加一个砝码后，要重新称量加载砝码的总质量mi，i=1,L,5；砝码的初始位置要合适，当遮光棒第9次通过光电门时，砝码未落地，即保证转动过程中力矩不变。
表2 金属载物盘转动惯量的测量（变力矩法），塔轮半径R = m
转动惯量：J1= (kg⋅m2) ，平均摩擦力矩：Mμ= （Nm）
4. 验证平行轴定理
将两个圆柱对称插入载物盘上距离中心轴两侧最近的两个圆孔（1-1），进行“加速”实验，将测量数据填入表5，验证平行轴定理。 （1） 选择塔轮半径，测量砝码质量m、圆柱质量m0及半径R。将细线绕在所选塔轮上，
另一端通过滑轮，悬挂好砝码。 （2） 将载物盘从同一位置静止释放，按“确定”键开始计时，记录测量时间。 （3） 用“取消”键选择“返回上一步”，改变两个圆柱的位置（2-2、3-3、4-4、5-5、1-5），
依次向外移动，重复步骤(2)。 （4） 依据相关公式计算两个圆柱转动惯量的测量值（公式（4）、（6））与理论值（公式（13）），
验证平行轴定理（公式（12））成立。
表5 验证平行轴定理： 塔轮半径R= m、质量m= kg，圆柱质量m0= kg、半径R0= m
注意：J=(M−Mμ)−J1，M=mR(g−R，J理论=2JC+md12+md22，其中J1为金属载物盘的转动惯量，Mμ为金属载物盘的平均摩擦力矩，用实验项目3的结果代入。
5．通过实验，分析误差产生的原因
任选被测试样圆盘、圆环，保持转动惯量不变，进行以下实验： （1） 使载物盘以不同初速度开始旋转，进行4次“减速”实验，计算角加速度，比较分析
测量结果； （2） 保持砝码质量不变，改变塔轮半径15，20，25，30mm，进行4次“加速”实验，计
算角加速度，比较分析测量结果； （3） 选择你认为合适的“减速”测量结果，结合不同塔轮测量出的角加速度，计算被测试
样的转动惯量，比较分析测量结果。 （数据表格参照表1自行设计）
注意：选择不同的塔轮半径时，砝码的初始位置要合适，确认当遮光棒第9次通过光电门时，砝码未落地，即保证转动过程中力矩不变。
6. 测量不同试样的转动惯量（参考）
（1）圆环的转动惯量：将圆环放置在载物盘上，在“实验选项”中选择“圆环”，分别进行减速和加速测量。此时测量所得的转动惯量J2是圆环的转动惯量J3与金属载物盘的转
′=105mm。圆环的质量m′=436g，圆环的外径R1′=120mm，圆环的内径R2 动惯量J1的叠加。
m′2
′2)= (kg⋅m2) R1′+R2(2
（2）圆盘的转动惯量：将圆盘放置在载物盘上，在“实验选项”中选择“圆盘”，分别′=测量值J3=J2-J1= (kg⋅m2)，理论值J3
进行减速和加速测量。此时测量所得的转动惯量J4是圆盘的转动惯量J5与金属载物盘的转动惯量J1的叠加。圆盘的质量m′=475g，圆盘的半径R′=120mm。
′=测量值J5=J4-J1= (kg⋅m2)，理论值J5
1
m′R′2= (kg⋅m2) 2
（3）圆柱的转动惯量：将两个圆柱插入载物盘上的任意两个圆孔中，记录圆孔的位置d1和d2。在“实验选项”中选择“圆柱”，分别进行减速和加速测量。此时测量所得的转动惯量J6是圆柱组合的转动惯量J7与金属载物盘的转动惯量J1的叠加。单个圆柱的质量
m′=165.5g，圆柱的半径R′=15mm，用平行轴定理计算理论值。
测量值J7=J6-J1= (kg⋅m2)
2
′=m′R′2+m′d12+m′d2= (kg⋅m2) 理论值J7
六. 思考题
1、 影响刚体转动惯量大小的因素有哪些？
2、 本实验仪器和测量方法中有哪些影响测量准确度的因素？
3、 在做减速转动实验时，给定初始转速的大小是否会影响测量结果？为什么？
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黄小姐
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