Question

这个方程怎么解啊？

a+b+c=12
abc=48
ab+bc+ac=44
数是我凑的，我只是想知道过程怎么解。
我知道有对数感觉好的很容易就能猜出来，不过希望有高手告诉我这方程怎么解。
从理论上说，有三个未知数，三个方程，就一定能解出来，对么？

Answer 1

解：因为 a+b+c=12,
ab+bc+ac=44,
abc=48,
由韦达定理, a,b,c 是一元三次方程
x^3-12x^2+44x-48=0.
的三个根.
当 x<0时,
x^3-12x^2+44x-48<0.
所以 x>=0.
(1) 因为 48=2^4*3,
用试根法可知,
x=2 是方程的一个根.
(2) 不妨令 a=2,
则 b+c=10, bc=24.
由韦达定理, b,c是一元二次方程
y^2-10y+24=0.
的两根.
解得 y1=4, y2=6.
综上, (a,b,c)可取
(2,4,6),(2,6,4),(4,2,6),(4,6,2),(6,2,4),(6,4,2).

= = = = = = = = =
1. 一元三次方程的韦达定理
(a3)(x^3) +(a2)(x^2) +(a1)x +a0 =0.
的三个根 x1, x2, x3 满足
x1+x2+x3= -(a2)/(a3),
(x1)(x2)+(x2)(x3)+(x1)(x3)= (a1)/(a3),
(x1)(x2)(x3)= -(a0)/(a3).

正负的规律是
x^3 -(x1+x2+x3) x^2 + (x1x2+...)x -(x1x2x3) =0.
- + - + - + ...
一元n次的规律也类似.
这是由 (x-x1)(x-x2)(x-x3)...(x-xn)=0
来推出来的.

2. 试根法 详见百度.
x>=0 可以减少试验次数.
只要试出一个根, 就可以降低次数了.

3. 有三个未知数，三个方程，就一定能解出来？
错。
x+y+z =1,
x+y+z =2,
x+y+z =3.
无解.
三元一次方程也会有无解的情况。什么时候无解？等你上大学才会知道。

Answer 2

呵呵，不知道题目怎么来的感觉应该符合某种规律。
构造（a+1)(b+1)(c+1)=abc+ac+bc+ca+a+b+c+1
看明白了是应该使上式为零，消掉一个未知数变为二元一次的两方程解