Question

已知x,y,z均为正实数,且4x²+y²+z²=3,若y=2x,证明:1/x+1/z≥3？

Answer 1

已知：4x²+y²+z²=3, y=2x。
将y=2x代入第一个公式得：4x² + (2x)² + z² = 3
化简得：20x² + z² = 3
因为x, y, z均为正实数，则x, y, z都大于0，从而得：
(1) 1/x + 1/z ≥ 2/√(xz) （根据调和均值不等式得：1/x + 1/z ≥ 2/（x+z）≥ 2/√(xz)）
(2) 从第一个式子推出y²/2 + z²/2 ≥ xy，即x² + z²/2≥ xy；令y=2x，则有z²/2 ≥ x²。
将(2)代入(1)式中，可以得到：1/x + 1/z ≥ 2/√(xz) ≥ 4/(x²+z²) 。
又因为 20x² + z² = 3，所以3 = 20x² + z² ≥ 20x² + 2x² = 22x²，即x² ≤ 3/22。
所以x² + z² ≤ 23x²/20 ≤ 3/20。
因此，4/(x²+z²) ≥ 80/3。
将上述结论代入1/x + 1/z ≥ 4/(x²+z²)，可以得到：
1/x + 1/z ≥ 80/3。
因此，已证明1/x + 1/z ≥ 3。

Answer 2

根据已知条件 $4x^2+y^2+z^2=3$，代入 $y=2x$ 得 $4x^2+4x^2+z^2=3$，即 $8x^2+z^2=3$，进而得到 $z^2<3$，即 $z<\sqrt{3}$。因为 $x,y,z$ 均为正实数，所以 $x^2+y^2>0$，于是可以对 $(x,y,z)$ 进行如下的 Cauchy-Schwarz 不等式处理：
$$\begin{aligned} &\frac{1}{x}+\frac{1}{z}\\ =&\frac{x+z}{xz}\\ =&\frac{(1+1)(x+z)}{2xz}\\ \geq&\sqrt{\frac{2x}{z}}\\ =&\sqrt{\frac{2x\cdot2\cdot2}{2xz}}\\ \geq&3\sqrt[3]{\frac{2^3x^3y^3z^3}{2xyz}}\\ =&3\sqrt[3]{8x^2y^2z^2}\\ =&3\sqrt[3]{8x^2\times 4x^2 \times z^2}\\ =&12x\\ \geq& 12\sqrt{xy}\\ =&12\sqrt{\frac{y}{2}}\\ \end{aligned}$$
而 $4x^2+y^2+z^2=3, y=2x$，所以 $z^2=3-8x^2$，代入得：
$$\frac{1}{x}+\frac{1}{z}\geq 12\sqrt{\frac{y}{2}}=12\sqrt{x}\geq3$$
因此，得证。