已知x,y,z均为正实数,且4x²+y²+z²=3,若y=2x,证明:1/x+1/z≥3?

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外向青色羽毛
2023-03-09 · 超过32用户采纳过TA的回答
知道答主
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已知:4x²+y²+z²=3, y=2x。
将y=2x代入第一个公式得:4x² + (2x)² + z² = 3
化简得:20x² + z² = 3
因为x, y, z均为正实数,则x, y, z都大于0,从而得:
(1) 1/x + 1/z ≥ 2/√(xz) (根据调和均值不等式得:1/x + 1/z ≥ 2/(x+z)≥ 2/√(xz))
(2) 从第一个式子推出y²/2 + z²/2 ≥ xy,即x² + z²/2≥ xy;令y=2x,则有z²/2 ≥ x²。
将(2)代入(1)式中,可以得到:1/x + 1/z ≥ 2/√(xz) ≥ 4/(x²+z²) 。
又因为 20x² + z² = 3,所以3 = 20x² + z² ≥ 20x² + 2x² = 22x²,即x² ≤ 3/22。
所以x² + z² ≤ 23x²/20 ≤ 3/20。
因此,4/(x²+z²) ≥ 80/3。
将上述结论代入1/x + 1/z ≥ 4/(x²+z²),可以得到:
1/x + 1/z ≥ 80/3。
因此,已证明1/x + 1/z ≥ 3。
对于day
2023-03-09 · 超过296用户采纳过TA的回答
知道小有建树答主
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根据已知条件 $4x^2+y^2+z^2=3$,代入 $y=2x$ 得 $4x^2+4x^2+z^2=3$,即 $8x^2+z^2=3$,进而得到 $z^2<3$,即 $z<\sqrt{3}$。因为 $x,y,z$ 均为正实数,所以 $x^2+y^2>0$,于是可以对 $(x,y,z)$ 进行如下的 Cauchy-Schwarz 不等式处理:
$$\begin{aligned} &\frac{1}{x}+\frac{1}{z}\\ =&\frac{x+z}{xz}\\ =&\frac{(1+1)(x+z)}{2xz}\\ \geq&\sqrt{\frac{2x}{z}}\\ =&\sqrt{\frac{2x\cdot2\cdot2}{2xz}}\\ \geq&3\sqrt[3]{\frac{2^3x^3y^3z^3}{2xyz}}\\ =&3\sqrt[3]{8x^2y^2z^2}\\ =&3\sqrt[3]{8x^2\times 4x^2 \times z^2}\\ =&12x\\ \geq& 12\sqrt{xy}\\ =&12\sqrt{\frac{y}{2}}\\ \end{aligned}$$
而 $4x^2+y^2+z^2=3, y=2x$,所以 $z^2=3-8x^2$,代入得:
$$\frac{1}{x}+\frac{1}{z}\geq 12\sqrt{\frac{y}{2}}=12\sqrt{x}\geq3$$
因此,得证。
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