Question

锐角三角形ABC，AB=4倍根号2，角BAC=45度，角BAC的平分线交BC于D,M，N分别是AD和AB上动点，则BM+MN的最小

如图所示,在锐角三角形ABC中,AB=4倍根号2,角BAC=45度,角BAC的平分线交BC于点D,MN分别是AD和AB上动点，则BM+MN的最小值是？

Answer 1

在AC上取一点E，使得：AE = AN ，连接ME、BE。

在△AME和△AMN中，AE = AN ，∠MAE = ∠MAN ，AM是公共边，
所以，△AME ≌ △AMN ，可得：ME = MN 。

BM+MN = BM+ME ≤ BE ，
当B、M、E三点共线时，BM+MN 有最小值等于 BE 。
点E在AC上，BE的最小值等于点B到AC的距离，
当BE⊥AC于E时，BE有最小值为：AB·sin∠BAC = 4 。
所以，BM+MN的最小值是 4 。

Answer 2

4