Question

已知（1+3x） n 的展开式中，末三项的二项式系数的和等于121，求展开式中系数最大的项

已知（1+3x） n 的展开式中，末三项的二项式系数的和等于121，求展开式中系数最大的项．

Answer 1

∵末三项的二项式系数分别为C n n-2 ，C n n-1 ，C n n ∴C n n-2 +C n n-1 +C n n =121 ∴C n 2 +C n 1 +C n 0 =121即n 2 +n-240=0 ∴n=15或n=-16（舍） ∴T r+1 =C 15 r （3x） r =C 15 r 3 r x r 设第r+1项与第r项的系数分别为t r+1 ，t r 令t r+1 =C 15 r 3 r ，t r =C 15 r-1 3 r-1 ∴t r+1 ≥t r 则可得3（15-r+1）＞r解得r≤12 ∴当r取小于12的自然数时，都有t r ＜t r+1 当r=12时，t r+1 =t r ∴展开式中系数最大的项为T 12 =C 15 11 3 11 x 11 和T 13 =C 15 12 3 12 x 12