Question

在直角坐标系xOy中，中心在原点O，焦点在x轴上的椭圆C上的点（2 2 ，1）到两焦点的距离之

在直角坐标系xOy中，中心在原点O，焦点在x轴上的椭圆C上的点（2 2 ，1）到两焦点的距离之和为4 3 ．（1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆C 的右焦点F作直线l与椭圆C分别交于A、B两点，其中点A在x轴下方，且 AF =3 FB ．求过O、A、B三点的圆的方程．

Answer 1

（1）由题意，设椭圆C： x 2 a 2 + y 2 b 2 =1 （a＞b＞0），则2a=4 3 ，a=2 3 ． ∵点（2 2 ，1）在椭圆 x 2 a 2 + y 2 b 2 =1 上， ∴ 8 12 + 1 b 2 =1 ，解得b= 3 ， ∴所求椭圆的方程为 x 2 12 + y 2 3 =1 ． （2）设A（x 1 ，y 1 ），B（x 2 ，y 2 ）（y 1 ＜0，y 2 ＞0），点F的坐标为F（3，0）， 由 AF =3 FB ，得3-x 1 =3（x 2 -3），-y 1 =3y 2 ，即x 1 =-3x 2 +12，y 1 =-3y 2 ①． 又A、B在椭圆C上， ∴ (-3 x 2 +12 ) 2 12 + (-3 y 2 ) 2 3 =1， x 2 2 12 + y 2 2 3 =1 ， 解得x 2 = 10 3 ，y 2 = 2 3 ， ∴B（ 10 3 ， 2 3 ），代入①得A（2，- 2 ）． 设过O、A、B三点的圆的方程为x 2 +y 2 +Dx+Ey+F=0， 则将O、A、B三点的坐标代入得 F=0，6+2D- 2 E+F=0， 102 9 + 10 3 D + 2 3 E+F=0 ， 解得D= - 10 3 ，E= - 2 3 ，F=0， 故过O、A、B三点的圆的方程为x 2 +y 2 - 10 3 x- 2 3 y=0．