Question

设f(x)＝2cos2x+3sin2x，g(x)＝12f(x+5π12)+x+a，其中a为非零实常数．（1）若f(x)＝1?3，x∈[?π3，π3]

设f(x)＝2cos2x+3sin2x，g(x)＝12f(x+5π12)+x+a，其中a为非零实常数．（1）若f(x)＝1?3，x∈[?π3，π3]，求x；（2）试讨论函数g（x）在R上的奇偶性与单调性，并证明你的结论．

Answer 1

（1）由已知f(x)＝2cos2x+

3

sin2x=1+2sin(2x+

π

6

)，（2分）
由1+2sin(2x+

π

6

)＝1?

3

得：sin(2x+

π

6

)＝?

3

2

，（1分）
∵?

π

3

≤x≤

π

3

，?

π

2

≤2x+

π

6

≤

5π

6

（1分）
∴2x+

π

6

＝?

π

3

，x＝?

π

4

．         （2分）
（2）由已知，得g(x)＝x?sin2x+a+

1

2

，（2分）
①∵当a＝?

1

2

时，对于任意的x∈R，总有g（-x）=-x-sin（-2x）=-（x-sin2x）=-g（x），
∴g（x）是奇函数．（2分）（没有过程扣1分）
②当a≠?

1

2

时，∵g(

π

2

)≠±g(?

π

2

)或g（π）≠±g（-π）等
所以，g（x）既不是奇函数，又不是偶函数．（2分）（没有过程扣1分）
∵g(0)＞g(

π

6

)，故g（x）不是单调递增函数，（1分）
又∵g(

π

6

)＜g(

π

2

)，故g（x）不是单调递减函数．（1分）
∴g（x）既不是单调递减函数，也不是单调递增函数．             （没举反例扣1分）
注：用求导的方