Question

如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠A=30°．（1）若∠ABD=120°，CD⊥BD，求证：CD是⊙O的切线；（

如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠A=30°．（1）若∠ABD=120°，CD⊥BD，求证：CD是⊙O的切线；（2）若AC=23，求劣弧AC的长．





Answer 1

解：（1）证明：连接BC，如图所示．
∵AB为圆O的直径，
∴∠ACB=90°，又∠BAC=30°，
∴∠ABC=60°，
∵OC=OB，
∴∠OBC=∠OCB=60°，
∵∠ABD=120°，
∴∠CBD=∠ABD-∠ABC=60°，
∵BD⊥CD，
∴∠D=90°，
∴∠BCD=30°，
∴∠OCD=∠OCB+∠BCD=90°，
∴CD⊥OC，
则CD为圆O的切线；

（2）∵AB是直径，
∴∠ACB=90°．
又∵∠A=30°，AC=2

3

，
∴AB=

AC

cos30°

=

2 3

3 2

=4，
又点O是AB的中点，
∴OA=

1

2

AB=2．
∵∠AOC=180°-2∠A=120°，
∴劣弧

AC

的长为：

120π×2

180

=

4

3

π．