Question

如图1，线段PB过圆心O，交圆O于A，B两点，PC切圆O于点C，作AD⊥PC，垂足为D，连接AC，BC．（1）写出图1中

如图1，线段PB过圆心O，交圆O于A，B两点，PC切圆O于点C，作AD⊥PC，垂足为D，连接AC，BC．（1）写出图1中所有相等的角（直角除外），并给出证明；（2）若图1中的切线PC变为图2中割线PCE的情形，PCE与圆O交于C，E两点，AE与BC交于点M，AD⊥PE，写出图2中相等的角（写出三组即可，直角除外）；（3）在图2中，证明：AD?AB=AC?AE．

Answer 1

解答：证明：（1）图1中相等的角有：∠ACD=∠ABC，∠BAC=∠CAD，
连接OC，则OC⊥PC，
∵AD⊥PC，
∴AD∥OC．
∴∠CAD=∠OCA．
又OA=OC，∠BAC=∠OCA，
∴∠BAC=∠CAD．
又AB为直径，∠ACB=90°，
∴∠BAC+∠B=90°
∵∠CAD+∠ACD=90°，
∴∠ACD=∠ABC．

（2）∠ACD=∠ABE，∠ABC=∠AEC，∠BAE=∠BCE，∠CBE=∠CAE（三组即可）；

（3）由（2）知：∠ACD=∠ABE，
又∵∠ADC=∠AEB=90°，
∴△ADC∽△AEB．
∴

AD

AE

＝

AC

AB

，即AD?AB=AC?AE．