Question

高等数学，请问划线处是怎么得出来的？已疯……

Answer 1

你画线的结论是错的.
设f(x) = x - tanx (0<x<π/2)
f ' (x) = 1 - sec²x
= 1 - 1/cos² x
= (cos²x - 1)/cos²x
= -sin²x / cos²x
= - tan²x <0
所以： x - tanx < 0 希望能理解
但:
设：f(x) = tanx/x (0<x<π/2)
f '(x) = (x*sec²x - tanx)/x²
设：g(x) = x/cos²x - sinx/cosx
=(1/ cos²x ) * (x - sinxcosx)
= [1/(2cos²x)] * [2x - sin(2x)]
设：h(x) = x - sinx
h ' (x) = 1 - cosx > 0
所以在 (0<x<π/2)上h(x)>0 , 即 x - sinx > 0
所以在 (0<x<π/2) 上 f ' (x) > 0 , f(x) 是单调递增的。
设0<x1<x2<π/2 则tanx2/x2 > tanx1/x1
即： tanx2 / tanx1 > x2 / x1

追问

太感谢啦！

Answer 2

显然在（0,π/2）内，tanx>x而不是tanx<x,这一题你可以自己计算，不要看他的解析了。

追问

可是我不会做😭就卡在判断符号这儿了

追答

稍等一下，我给你写过程

追问

谢谢你，我已经会啦 辛苦了😘

追答

不客气！

Answer 3

利用三角函数线

追问

可是在（0,π/2）上x不一定大于tanx啊，当趋向于π/2的时候，tanx不是都无限大了吗，怎么会小于x呢？

追答

那就是答案错了

Answer 4

追问

不是哦，我不明白的是后面那步，划线的那里π_π

追答

这个是重要极限证明过程的结果，我给你推