Question

设f(x )二阶导小于零 f(0)=0，证明任意a,b都有f(a+b)<f(a)+ f（b）

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Answer 1

题目不完整哦。
令b = 0
f(a+b) = f(a+0) = f(a) < f(a)+f(b) = f(a)+f(0) = f(a)
f(a)<f(a)怎么可能呢。

追问

a,b都大于零，少了这个条件，补充，这是高数

追答

啊，这个。不好意思，第一步有点牵强，画图自己感觉出来的 = = 凑合着看后面的吧。

1. 由于f(x)二阶导小于零，函数是导数不断减小的凸函数；且f(0) = 0，若0<a<b，则(0,0)点与(a,f(a)), (b,f(b)), (a+b,f(a+b))的连线的斜率依次递减。即：f(a)/a > f(b)/b > f(a+b)/a+b

2. 由f(b)/b > f(a+b)/a+b 得：f(a+b)<f(b)*(a+b)/b = f(b)+f(b)*a/b     ---------(1)

3. 由f(a)/a > f(b)/b 得：f(a)>f(b)*a/b    --------------(2)

4. 综合（1）（2）两式，得结论f(a+b)<f(b)+f(b)*a/b<f(b)+f(a)

追问

我已经做出来了，用的拉格朗日中值定理，很简单，看你这么辛苦就采纳你的了…