如何证明:1/(1- x)²
1/(1-x)²=【1/(1-x)】’
=(∞∑n²·xⁿ)'
=∞∑n1·nx^n-1
其他类似题型参考
1、求x/(1-x^2)展开为x的幂级数
f(x)=x/(1-x^2)
=x/(1-x)(1+x)
=(1/2)*[1/(1-x) - 1/(1+x)]
因为1/(1-x)=∑(n=0,∞) x^n,x∈(-1,1)
1/(1+x)=∑(n=0,∞) (-x)^n,x∈(-1,1)
所以
f(x)=(1/2)*∑(n=0,∞) [1-(-1)^n] x^n,x∈(-1,1)
写得再清楚一点,就是:
f(x)=x+x^3+x^5+……=∑(n=0,∞) x^(2n+1),x∈(-1,1)
其实,如果细心一点观察,就可以发现:
x/(1-x^2)=lim(n→∞) x(1-0)/(1-x^2)
=lim(n→∞) x(1-(x^2)^n)/(1-x^2)
这正是首项为x,公比为x^2的等比级数的收敛函数~~~
因此,直接可推:f(x)=x+x^3+x^5+……=∑(n=0,∞) x^(2n+1),x∈(-1,1)
2、求x/(1+x^2)展开为x的幂级数
f(x)=x/(1+^2)
f(x)/x=1/(1+x^2)
同取积分:
∫(0,x) f(t)/t dt =∫(0,x) 1/(1+t^2) dt
=arctanx
=∑(n=0,∞) (-1)^n * 1/(2n+1) * x^(2n+1)
然后,同对x求导
f(x)/x=[∑(n=0,∞) (-1)^n * 1/(2n+1) * x^(2n+1)]'
=∑(n=0,∞) [(-1)^n * 1/(2n+1) * x^(2n+1)]'
=∑(n=0,∞) (-1)^n * x^(2n)
因此,
f(x)=∑(n=0,∞) (-1)^n * x^(2n+1),x∈(-1,1)