Question

.函数f(x)=cosx+78π+66√6取最小值时，x的取值可能是( )？

Answer 1

由于 cos(x) 的最小值为 -1，所以要使 f(x)=cos(x)+78pi+66sqrt(6) 取到最小值，需要使 cos(x) 取到最小值，并且让 78pi+66sqrt(6) 的值尽可能地小。
由于 78pi 是个整数倍的 π，而 cos(x) 的最小值 -1 取到时 x=pi，因此 78pi 不会对 cos(x) 产生影响。考虑如何让 66sqrt(6) 尽量地小。
由于 sqrt(6) 是无理数，所以想要直接从数字上减小 66sqrt(6) 非常困难。但是我们可以知道，66sqrt(6) 恰好等于 66×2sqrt(6)，即 132sqrt(6)。因此，需要找到一个角度 x，使得 cos(x) 最小，并且满足 x∈[0,2pi)。
根据 cos 函数在 [0,pi] 区间上的单调性，可知 cos(x) 在 [0,pi] 上取到最小值 -1，因此最小值点应为 x=pi。但是这时 x 超出了 [0,2pi) 的范围，因此需要将 2pi 加上或者减去一个适当的整数倍的 pi，即 x=pi+2kpi，其中 k∈Z。
综合上述结果，函数 f(x)=cos(x)+78pi+66sqrt(6) 的最小值为 -1+78pi+132sqrt(6)，此时 x 的取值可能为 x=pi+2kpi，其中 k∈Z。