Question

如图，四边形ABCD内接于⊙O，CD∥AB，且AB是⊙O的直径，AE⊥CD交CD延长线于点E. （1）求证

如图，四边形ABCD内接于⊙O，CD∥AB，且AB是⊙O的直径，AE⊥CD交CD延长线于点E. （1）求证：AE是⊙O的切线； （2）若AE=2，CD=3，求⊙O的直径.

Answer 1

（1）证明：由AE⊥CD，可证∠EDA+∠EAD=90°； 易证∠EDA=∠ABC=∠BAD，所以∠BAD+∠EAD=90°， 即∠EAB=90°，故AE为⊙O的切线； （2）作OF⊥CD于F，连结OD，可证OF=AE=2，由垂径定理可得， ， 由勾股定理得， 所以直径AB=5。