Question

如图，在△ABC中，D为BC边的中点，过D点分别作DE ∥ AB交AC于点E，DF ∥ AC交AB于点F．（1）证明：△BDF

如图，在△ABC中，D为BC边的中点，过D点分别作DE ∥ AB交AC于点E，DF ∥ AC交AB于点F．（1）证明：△BDF≌△DCE；（2）如果给△ABC添加一个条件，使四边形AFDE成为菱形，则该条是______；如果给△ABC添 加一个条件，使四边形AFDE成为矩形，则该条件是______．（均不再增添辅助线）请选择一个结论进行证明．

Answer 1

（1）证明：∵DE ∥ AB，
∴∠EDC=∠FBD．（1分）
∵DF ∥ AC，
∴∠FDB=∠ECD．（2分）
又∵BD=DC，
∴△BDF≌△DCE．（3分）

（2）AB=AC或BC=AC或BA=BC；∠A=90°或∠B=90°或∠C=90°，
（填写其中一个即可，每空（1分），共（2分）
①证明：∵DE ∥ AB DF ∥ AC，
∴四边形AFDE为平行四边形．（6分）
又∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠EDC=∠C，
∴ED=EC．
由△BDF≌△DCE可得：FD=EC．
∴ED=FD，
∴四边形AFDE为菱形．（7分）

②证明：同理可证四边形AFDE为平行四边形．（6分）
∵∠A=90，
∴四边形AFDE为矩形．（7分）