Question

已知 ABCD 是边长为4的正方形， E 、 F分别是 AB 、 AD 的中点， GC 垂直于 ABCD 所在的平面，且 GC ＝2

已知 ABCD 是边长为4的正方形， E 、 F分别是 AB 、 AD 的中点， GC 垂直于 ABCD 所在的平面，且 GC ＝2．求点 B 到平面 EFG 的距离．

Answer 1

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解：如图，连结 EG 、 FG 、 EF 、 BD 、 AC 、EF 、 BD 分别交 AC 于 H 、 O ．因为 ABCD 是正方形， E 、 F 分别为 AB 和 AD 的中点，故 EF ∥ BD ， H 为 AO 的中点． BD 不在平面 EFG 上．否则，平面 EFG 和平面 ABCD 重合，从而点 G 在平面的 ABCD 上，与题设矛盾． 由直线和平面平行的判定定理知 BD ∥平面 EFG ，所以 BD 和平面 EFG 的距离就是点 B 到平面 EFG 的距离．                                                  ——4分 ∵ BD ⊥ AC ， ∴ EF ⊥HC． ∵ GC ⊥平面 ABCD ， ∴ EF ⊥ GC ， ∴ EF ⊥平面 HCG ． ∴平面 EFG ⊥平面 HCG ， HG 是这两个垂直平面的交线．               ——6分 作 OK ⊥ HG 交 HG 于点 K ，由两平面垂直的性质定理知 OK ⊥平面 EFG ，所以线段 OK 的长就是点 B 到平面 EFG 的距离．                                          ——8分 ∵正方形 ABCD 的边长为4， GC =2， ∴ AC= 4 ， HO = ， HC =3 ． ∴在Rt△ HCG 中， HG = ． 由于Rt△ HKO 和Rt△ HCG 有一个锐角是公共的，故Rt△ HKO ∽△ HCG ． ∴ OK = ． 即点 B 到平面 EFG 的距离为 ．                                 ——10分