Question

已知双曲线的中心在原点，坐标轴为对称轴，一条渐近线方程y= x，右焦点F（5，0），双曲线的实轴为A 1 A

已知双曲线的中心在原点，坐标轴为对称轴，一条渐近线方程y= x，右焦点F（5，0），双曲线的实轴为A 1 A 2 ，P为双曲线上一点（不同于A 1 ，A 2 ），直线A 1 P，A 2 P分别与直线l： 交于M，N两点，（Ⅰ）求双曲线的方程；（Ⅱ）求证： 为定值。

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Answer 1

解：（Ⅰ）依题意可设双曲线方程为 ， 则 ， ∴所求双曲线方程为 ； （Ⅱ）A 1 （-3，0），A 2 （3，0），F（5，0）， 设P（x，y）， ， ∴ （x+3，y）， ， ∵A 1 ，P，M三点共线， ∴ ， ∴ ，即 ， 同理得 ， ∴ ， ，   ， ， ∴ ， ∴ ， 即 =0（定值）。