Question

（2011?翔安区质检）如图，⊙0的直径AB=6cm，P是AB延长线上的一点，过点P作⊙0的切线，切点为C，连接AC，

（2011?翔安区质检）如图，⊙0的直径AB=6cm，P是AB延长线上的一点，过点P作⊙0的切线，切点为C，连接AC，BC．（1）若∠CPA=30°，求PC的长；（2）探究：当点P在AB的延长线上运动时，是否总存在∠PCB=∠CAB？若存在，请证明；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）解：连接OC，
∵PC为⊙0的切线，
∴OC⊥PC，∴∠PCO=90°，
又∠CPA=30°，AB=6，
∴在Rt△PCO中，tan∠CPA=

OC

PC

，
∴PC=

OC

tan∠CPA

＝

3

tan30°

＝3

3

，

（2）存在．
∵PC为⊙O的切线，
∴∠PCO=∠OCB+∠PCB=90°
又∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，∠CAB+∠ABC=90°，
∴∠PCB+∠OCB=∠CAB+∠ABC=90°
又∵OB=OC，
∴∠OCB=∠ABC，
∴∠PCB=∠CAB．