Question

如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图形的一条面积等分线．

如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图形的一条面积等分线．（1）三角形有______条面积等分线，平行四边形有______条面积等分线；（2）如图①所示，在矩形中剪去一个小正方形，请画出这个图形的一条面积等分线；（3）如图②，四边形ABCD中，AB与CD不平行，AB≠CD，且S△ABC＜S△ACD，过点A画出四边形ABCD的面积等分线，并写出理由．

Answer 1

（1）在△ABC中，做BC的中线AD，在这BC上任意取一点E，并将其与顶点A相连，过中点D做它的平行线，交AC与点F，连接EF，即是△ABC的面积等分线．因为连接EF，设EF与AD交于点O，作中线后，△ABD与△ACD的面积相等，即S_{四边形ABEO}+S_△EOD=S_△AFO+S_{四边形FODC}．作平行线后，连接EF，设EF与AD交于点O，则△AOF与△EOD面积相等，那么S_{四边形ABEO}+S_△AFO=S_△EOD+S_{四边形FODC}，即S_{四边形ABEF}=S_△EFC，因此直线EF将△ABC分成了面积相等的两部分，是三角形的面积等分线．因此，按这样的做法，可以作无数条三角形的面积等分线；对于平行四边形应该有无数条，只要过两条对角线的交点的直线都可以把平行四边形的面积分成2个相等的部分；
故答案是：无数；无数；

（2）如图①所示：连接2个矩形的对角线的交点的直线即把这个图形分成2个相等的部分．即OO′为这个图形的一条面积等分线；

（3）如图②所示．能，过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E，连接AE．
∵BE∥AC，
∴△ABC和△AEC的公共边AC上的高也相等，
∴有S_△ABC=S_△AEC，
∴S_{四边形ABCD}=S_△ACD+S_△ABC=S_△ACD+S_△AEC=S_△AED；
∵S_△ACD＞S_△ABC，
所以面积等分线必与CD相交，取DE中点F，则直线AF即为要求作的四边形ABCD的面积等分线．