Question

设函数f（x）=x-1-lnxx．（Ⅰ）令N（x）=x2-1+lnx，判断N（x）在（0，+∞）上的单调性并求所有的零点；（

设函数f（x）=x-1-lnxx．（Ⅰ）令N（x）=x2-1+lnx，判断N（x）在（0，+∞）上的单调性并求所有的零点；（Ⅱ）求f（x）在定义域上的最小值；（Ⅲ）求证：对任意n∈N*，n≥2，都有：1ln2+1ln3+1ln4+…1lnn＞1-1n．

Answer 1

（Ⅰ）∵N′（x）=2x+

1

x

＞0，
∴N（x）在（0，+∞）上单调递增；
那么N（x）在（0，+∞）上至多有一个零点，
由N（1）=1-1+0=0，则N（x）在（0，+∞）上唯一零点为x=1．
（Ⅱ）f（x）的定义域为（0，+∞）；
f′（x）=1-

1?lnx

x2

=

N(x)

x2

，
则①当0＜x＜1时，N（x）＜0，则f′（x）＜0，
②当x＞1时，N（x）＞0，则f′（x）＞0，
则f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增；
则f（x）_min=f（1）=0．
（Ⅲ）由f（x）=x-1-

lnx

x

≥0可得，
x²-x≥lnx（x＞0）
令x=k≥2，
则k²-k＞0，lnk＞0，k²-k＞lnk；
则

1

lnk

＞

1

k2?k

=

1

k(k?1)

=

1

k?1

?

1

k

则

1

ln2

+

1

ln3

+

1

ln4

+…

1

lnn

＞

1

1

?

1

2

+

1

2

?

1

3

+…+

1

n?1

?

1

n

=1-

1

n

．