Question

已知数列{an}是首项为a1=1的等差数列，其前n项和为Sn，数列{bn}是首项b1=2的等比数列，且b2S2=16，b1b3=b

已知数列{an}是首项为a1=1的等差数列，其前n项和为Sn，数列{bn}是首项b1=2的等比数列，且b2S2=16，b1b3=b4．（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；（Ⅱ）若数列{cn}满足 c1+3c2+32c3+…+3n?1cn＝an，求数列{cn}的前n项和Tn．

Answer 1

（1）∵{b_n}是首项b₁=2，公比为q的等比数列，b₁b₃=b₄，
∴2×2q²=2q³，而q≠0，
∴q=2，
∴b_n=2ⁿ，
∴b₂=4，
又数列{a_n}是首项为a₁=1的公差为d的等差数列，且b₂S₂=16，
∴S₂=4，即1+1+d=4，d=2，
∴a_n=2n-1，
（2）∵c₁+3c₂+3²c₃+…+3^n-1c_n=a_n①
∴c₁+3c₂+3²c₃+…+3^n-1c_n+3ⁿc_n+1=a_n+1②
②-①得：3ⁿ?c_n+1=2，
∴c_n+1=2?3^-n，
当n=1时，c₁=a₁=1
∴c_n=

2?31?n，n≥2 1，          n＝1

，
∴T₁=1，
当n≥2时，T_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n
=1+2（3^-1+3^-2+…+3^1-n）
=1+2?

1 3 [1?( 1 3 )n?1]

1? 1 3

=1+1-

1

3n?1

=2-

1

3n?1

，
∵n=1时，也适合
∴T_n=2-

1

3n?1

，n∈N^*．