Question

在直角坐标系中，∠ABC=∠BDE=90°，BC=DE，AC=BE，M、N分别是AB、BD的中点，连接MN交CE于点K．（1）如图

在直角坐标系中，∠ABC=∠BDE=90°，BC=DE，AC=BE，M、N分别是AB、BD的中点，连接MN交CE于点K．（1）如图1，已知A点的坐标为（3，0），C点的坐标为（-4，2），求D点的坐标．（2）如图2，当C、B、D共线，AB=2BC时，探究CK与EK之间的数量关系，并证明．（3）如图3，当C、B、D不共线，AB≠BC时，（2）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

Answer 1

解答：解（1）如图1，在Rt△BDE和Rt△ABC中，
∵

BE＝AC DE＝BC

，
∴Rt△BDE≌Rt△ABC，
∴BD=AB，
∵C（-4，2），∠ABC=90°，
∴B（-4，0）．
∵A（3，0），
∴AB=7，
∴BD=7
D（-4，-7）；
（2）如图2，CK=EK
理由：连EM、CN，
∵AB=2BC，AB=BD，
∴BD=2BC，
∵M、N分别是AB、BD的中点，
∴AB=2BM，BD=2BN=2ND，
∴BC=BM=BN=DN，
∵DE=BC，
∴DE=DN．
∵∠ABC=∠BDE=90°，
∴∠DEN=∠DNE=∠BNM=∠BMN=45°，
∴∠MNE=180°-45°-45°=90°，
在△MBN和△NDE中，

BM＝DE ∠ABC＝∠BDE BN＝DN

，
∴△MBN≌△NDE（SAS），
∴MN=EN，
∴△MNE是等腰直角三角形，
∴∠NME=45°，
∴∠BME=90°，
∴四边形BDEM是矩形，
∴EM=DB，BD∥EM，
∴EM=NC．∠CEM=∠NCE，∠NME=∠MNC，
在△EMK和△CNK中，

．∠CEM＝∠NCE EM＝CN ∠NME＝∠MNC

，
∴△EMK≌△CNK，
∴CK=EK．
（3）如图3，MN交BE、AC于F、G，过E、C作MN的垂线，垂足为Q、P，连结CM、EN，
∴∠EQN=∠EQK=∠CPM=90°．
∵AB=BD，M、N是AB、BD的中点，
∴DN=BN=BM=AM，
∴∠2=∠BMN，
∵∠1=∠BMN，
∴∠2=∠1．
在△EDN和△CBM中

DN＝BM ∠BDE＝∠ABC ED＝CB

，
∴△EDN≌△CBM（SAS），
∴EN=CM．
在△BNE和△AMC中

NE＝CM NB＝AM BE＝AC

，
∴△BNE≌△AMC（SSS），
∴∠7=∠8，∠ENB=∠CMA，
∴∠ENB-∠2=∠CMA-∠1，
即∠3=∠4．
在△EQN和△CPM中，

∠EQN＝∠CPM ∠3＝∠4 EN＝CM

，
∴△EQN≌△CPM（AAS），
∴EQ=CP．
在△EQK和△CPK中，

∠EQK＝CPK ∠EKQ＝∠CKP EQ＝CP

，
∴△EQK≌△CPK（AAS），
∴EK=CK．
，