Question

（2013?杭州一模）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）和⊙M：x2+y2+8x-12=0，过抛物线C上一点P（x0，y0）（y0≥

（2013?杭州一模）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）和⊙M：x2+y2+8x-12=0，过抛物线C上一点P（x0，y0）（y0≥0）作两条直线与⊙M相切与A、B两点，圆心M到抛物线准线的距离为92．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）当P点坐标为（2，2）时，求直线AB的方程；（Ⅲ）设切线PA与PB的斜率分别为k1，k2，且k1?k2=12，求点P（x0，y0）的坐标．

Answer 1

（Ⅰ）由⊙M：x²+y²-8x+12=0，配方得（x-4）²+y²=4，∴圆心M（4，0），半径r=2．
由题意知：4+

p

2

＝

9

2

，解得p=1，
∴抛物线C的方程为y²=2x．     
（Ⅱ）设P（2，2），∵P，A，B，M四点共圆，∴此圆的方程为：（x-4）（x-2）+（y-2）（y-0）=0，①
又⊙M：x²-8x+y²+12=0，②
又由①-②得直线AB的方程：x-y-2=0．                        
（Ⅲ）设过P的直线l方程为y-y₀=k（x-x₀），由于⊙M与直线l相切，得到

|4k+y0?kx0|

1+k2

＝2，
整理得到：(

x

2 0

?8x0+12)k2+[2y0(4?x0)]k+

y

2 0

?4＝0，
∴k1?k2＝

y 2 0 ?4

x 2 0 ?8x0+12

＝

1

2

，即

x

2 0

?12x0+20＝0，∴x₀=2或10，
经检验得点P坐标为(10，2

5

)．