Question

已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2，0）,右顶点为（√3,0）。（1）求双曲线C的方程；（2）

已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2，0）,右顶点为（√3,0）。（1）求双曲线C的方程；（2）若直线l:y=kx+√2与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且OA·OB>2（其中O为原点），求k的取值范围。

Answer 1

(1)由题意得：
c=2, a=√3
∴b=√(c²-a²)=1
∴方程为：x²/3 - y^2=1
(2)设A(x1,y1)B(x2,y2),
将 y=kx+√2代入双曲线方程，
得(1-3k^2)x^2-6√2kx-9=0
Δ=72k^2+36(1-3k^2)>0，得k^2<1且k^2≠1/3(二次项系数不为0)
由韦达定理得：
x1+x2=(6√2k)/(1-3k^2)
x1x2=-9/(1-3k^2)
OA·OB=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+√2)(kx2+√2)=(1+k^2)x1x2+√2k(x1+x2)+2 =(3k^2+7)/(3k^2-1)>2
得1/3<k^2<3
综上，得1/3<k^2<1,
k∈(-1,-√3/3)∪(√3/3,1)

望采纳