Question

1.已知x,y均为正实数,求 1/(x+3y)+x/(8y+4)+9y/(2x+3) 的最小值？

Answer 1

要求表达式的最小值，我们可以使用求导的方法来解决。首先，我们对给定的表达式进行求导，然后令导数等于零，求得可能的最小值点。
设函数为：
f(x, y) = 1/(x+3y) + x/(8y+4) +9y/(2x+3)
对x求偏导数：
∂f/∂x = 1/(x+3y) + 1/(8y+4)
对y求偏导数：
∂f/∂y = -3/(x+3y)^2 + 8/(8y+4) + 9/(2x+3)
令 ∂f/∂x = 0 和 ∂f/∂y = 0，解得：
1/(x+3y) + 1/(8y+4) = 0 ----(1)
-3/(x+3y)^2 + 8/(8y+4) + 9/(2x+3) = 0 ----(2)
解方程组(1)和(2)可能比较复杂，但我们可以通过观察得出结论。注意到分母都是正数，所以要使得 ∂f/∂x = 0 和 ∂f/∂y = 0 成立，必须满足分子为0。因此，我们可以得出以下方程组：
1/(x+3y) = 0 ----(3)
-3/(x+3y)^2 = 0 ----(4)
由方程(3)可知，x+3y = ∞，即 x = -3y。将其代入原始函数，得到：
f(x, y) = 1/(x+3y) + x/(8y+4) + 9y/(2x+3)
= 1/∞ + (-3y)/(8y+4) + 9y/(2(-3y)+3)
= 0 - (3y)/(8y+4) + 9y/(-6y+3)
= -(3y)/(8y+4) + 9y/(-6y+3)
我们可以继续化简，得到：
f(x, y) = -(3y)/(8y+4) + 9y/(-6y+3)
= -(3y)/(8y+4) - 9y/(6y-3)
= -3y(1/(8y+4) + 3/(6y-3))
由于x和y都是正实数，所以y必须大于零。我们可以看到，当y趋近于零时，f(x, y)趋近于负无穷大。因此，当y等于零时，f(x, y)没有最小值。
综上所述，给定的表达式没有最小值。