Question

如图，在四边形ABCD中，AB=CD，M，N，P，Q分别是AD，BC，BD，AC的中点．求证：MN与PQ互相垂直平分

如图，在四边形ABCD中，AB=CD，M，N，P，Q分别是AD，BC，BD，AC的中点．求证：MN与PQ互相垂直平分．

Answer 1

证明：连接MP，PN，NQ，QM， ∵AM=MD，BP=PD， ∴PM= 1 2 AB， ∴PM是△ABD的中位线， ∴PM ∥ AB； 同理NQ= 1 2 AB，NQ ∥ AB，MQ= 1 2 DC， ∴PM=NQ，且PM ∥ NQ． ∴四边形MPNQ是平行四边形．（3分） 又∵AB=DC，∴PM=MQ， ∴平行四边形MPNQ是菱形．（5分） ∴MN与PQ互相垂直平分．（6分）