Question

如图，在平面直角坐标系xoy中，抛物线y=x 2 向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线y=（x-h） 2

如图，在平面直角坐标系xoy中，抛物线y=x 2 向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线y=（x-h） 2 +k，所得抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，顶点为D．（1）求h、k的值；（2）判断△ACD的形状，并说明理由；（3）在线段AC上是否存在点M，使△AOM与△ABC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）∵y=x 2 的顶点坐标为（0，0）， ∴y=（x-h） 2 +k的顶点坐标D（-1，-4）， ∴h=-1，k=-4 （3分） （2）由（1）得y=（x+1） 2 -4 当y=0时， （x+1） 2 -4=0 x 1 =-3，x 2 =1 ∴A（-3，0），B（1，0）（1分） 当x=0时，y=（x+1） 2 -4=（0+1） 2 -4=-3 ∴C点坐标为（0，-3） 又∵顶点坐标D（-1，-4）（1分） 作出抛物线的对称轴x=-1交x轴于点E 作DF⊥y轴于点F 在Rt△AED中，AD 2 =2 2 +4 2 =20 在Rt△AOC中，AC 2 =3 2 +3 2 =18 在Rt△CFD中，CD 2 =1 2 +1 2 =2 ∵AC 2 +CD 2 =AD 2 ∴△ACD是直角三角形； （3）存在．由（2）知，OA=3，OC=3，则△AOC为等腰直角三角形，∠BAC=45°； 连接OM，过M点作MG⊥AB于点G， AC= 18 =3 2 ①若△AOM ∽ △ABC，则 AO AB = AM AC ， 即 3 4 = AM 3 2 ，AM= 3×3 2 4 = 9 2 4 ∵MG⊥AB ∴AG 2 +MG 2 =AM 2 ∴ AG=MG= ( 9 2 4 ) 2 2 = 81 16 = 9 4 OG=AO-AG=3- 9 4 = 3 4 ∵M点在第三象限 ∴M（ - 3 4 ，- 9 4 ）； ②若△AOM ∽ △ACB，则 AO AC = AM AB ， 即 3 3 2 = AM 4 ， AM= 3×4 3 2 =2 2 ∴AG=MG= AM 2 2 = (2 2 ) 2 2 =2 OG=AO-AG=3-2=1 ∵M点在第三象限 ∴M（-1，-2）． 综上①、②所述，存在点M使△AOM与△ABC相似，且这样的点有两个，其坐标分别为（ - 3 4 ，- 9 4 ），（-1，-2）．