Question

已知复数z 1 =2cosθ+isinθ，z 2 =1-isinθ，其中i为虚数单位，θ∈R．（1）当z 1 ，z 2 是实系数一元二

已知复数z 1 =2cosθ+isinθ，z 2 =1-isinθ，其中i为虚数单位，θ∈R．（1）当z 1 ，z 2 是实系数一元二次方程x 2 +mx+n=0的两个虚根时，求m、n的值．（2）求|z 1 ? . z 2 |的值域．

Answer 1

（1）复数z 1 =2cosθ+isinθ，z 2 =1-isinθ， z 1 ，z 2 是实系数一元二次方程x 2 +mx+n=0的两个虚根， 所以z 1 = . z 2 ，即2cosθ+isinθ=1+isinθ，所以 2cosθ=1 sinθ=sinθ ，所以cosθ= 1 2 ． m=-z 1 -z 2 =-（z 1 +z 2 ）=-2cosθ-1=-2． n=z 1 ?z 2 =1+sin 2 θ= 7 4 ． （2）|z 1 ? . z 2 |=|（2cosθ+isinθ）（1+isinθ）| =|（2cosθ+isinθ）||（1+isinθ）| = (1+3co s 2 θ)(1+si n 2 θ) = 2+2co s 2 θ+ 3 4 si n 2 2θ = 3+cos2θ+ 3 4 - 3 4 co s 2 2θ = 15 4 +cos2θ- 3 4 co s 2 2θ = 49 12 - 3 4 (cos2θ- 1 3 ) 2 ∈ [ 2 ， 7 3 6 ] ．