（2014?达州二模）如图，直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AB=BC=2AD=4．点E，F分别是AB，CD的中点，点G在EF
（2014?达州二模）如图，直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AB=BC=2AD=4．点E，F分别是AB，CD的中点，点G在EF上，沿EF将梯形ABCD翻折，使平面A...
（2014?达州二模）如图，直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AB=BC=2AD=4．点E，F分别是AB，CD的中点，点G在EF上，沿EF将梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCD．（Ⅰ）当EG=2时，求证：CG⊥平面BDG．（Ⅱ）在线段EF上任意取一点，当该点落在线段EG上的概率为13时，求二D-BG-C的余弦值．
展开
1个回答
展开全部
（Ⅰ）证明：∵EG=2，直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，
AB=BC=2AD=4．点E，F分别是AB，CD的中点，
点G在EF上，沿EF将梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCD．
∴AEGD为为正方形，∴DG⊥EF，
∵平面AEFD⊥平面EBCF，∴DG⊥平面EBCF，∴DG⊥CG，
又∵EG=EB=2．∴BG=CG=2
，
由BG2+CG2=BC2，知BG⊥CG，BG∩DG=G，
∴CG⊥面BDG．…（6分）
（Ⅱ）解：点E、F分别是AB的中点，
∴EF∥BC，又∠ABC=90°，∴AE⊥EF，
∵平面AEFD⊥平面EBCF，
∴AE⊥平面EBCF，AE⊥EF，AE⊥BE，又BE⊥EF，
如图建立空间坐标系E-xyz．
由题意得B（2，0，0），D（0，2，2）C（2，4，0），G（0，1，0），
设平面DBG的法向量为
＝(x，y，z)，
∴
＝(?2，1，0)，
=（-2，2，2），…（7分）
则
AB=BC=2AD=4．点E，F分别是AB，CD的中点，
点G在EF上，沿EF将梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCD．
∴AEGD为为正方形，∴DG⊥EF，
∵平面AEFD⊥平面EBCF，∴DG⊥平面EBCF，∴DG⊥CG，
又∵EG=EB=2．∴BG=CG=2
| 2 |
由BG2+CG2=BC2，知BG⊥CG，BG∩DG=G，
∴CG⊥面BDG．…（6分）
（Ⅱ）解：点E、F分别是AB的中点，
∴EF∥BC，又∠ABC=90°，∴AE⊥EF，
∵平面AEFD⊥平面EBCF，
∴AE⊥平面EBCF，AE⊥EF，AE⊥BE，又BE⊥EF，
如图建立空间坐标系E-xyz．
由题意得B（2，0，0），D（0，2，2）C（2，4，0），G（0，1，0），
设平面DBG的法向量为
| n1 |
∴
| BG |
| BD |
则
|
