Question

设函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=1处取得极值-2，试用c表示a和b，并求f（x）的单调区间

设函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=1处取得极值-2，试用c表示a和b，并求f（x）的单调区间．

Answer 1

依题意有f（1）=-2，f′（1）=0，而f′（1）=3x²+2ax+b，
故

1+a+b+c＝?2 3+2a+b＝0

解得

a＝c b＝?2c?3

从而f′（x）=3x²+2cx-（2c+3）=（3x+2c+3）（x-1）．
令f′（x）=0，得x=1或x＝?

2c+3

3

．
由于f（x）在x=1处取得极值，故?

2c+3

3

≠1，即c≠-3．
若?

2c+3

3

＞1，即c＜-3，
则当x∈(?∞，?

2c+3

3

)时，f′（x）＞0；
当x∈(?

2c+3

3

，1)时，f′（x）＜0；
当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0；
从而f（x）的单调增区间为(?∞，?

2c+3

3

]，[1，+∞)；单调减区间为[?

2c+3

3

，1]
若?

2c+3

3

＜1，即c＞-3，
同上可得，f（x）的单调增区间为(?∞，1]，[?

2c+3

3

，+∞)；单调减区间为[1，?

2c+3

3

]