Question

用定义证明：f（x）=x2在（0，+∞）上单调递增

用定义证明：f（x）=x2在（0，+∞）上单调递增．

Answer 1

因为定义域为R
所以令0<x1<x2
f(x1)-f(x2)=x1^2-x2^2=(x1+x2)(x1-X2)<0
所以f(x1)<f(x2)
所以f(x)在（0，+∞）上单调递增
对于单调性的证明，一般采用定义去证明，即定义域为D，令x1<x2,x1,x2∈D。作差，f(x1)-f(x2)，化简求值，大于0就是减函数，反之是增函数。
下面拿正切函数作为例子说明：
　　首先要明确函数的定义域
　　其次，若函数定义域不关于原点对称，就是非奇非偶函数
　　满足定义域关于原点对称，讨论它是否具有奇偶性
　　用f(-x),来计算化简，求出f(-x)=f(x),就是偶函数，f(-x)=-f(x),就是奇函数，否则是非奇非偶函数
　　f(x)=tanx,定义域为{x|x≠π/2+2kπ，k∈Z}，所以关于原点对称，又因为f(-x)=tan(-x)=-tanx=-f(x),所以证明正切函数是奇函数
　　其次我们再看，正切函数的单调性，我们学过它的图像是在各个区间内单调递增，怎么证明？首先明确，正切函数是以π为最小正周期的周期函数，所以我们取（-2/π，2/π）来研究。正切函数的导数是1/(cosx)^2,因为cosx≠0，所以1/(cosx)^2>0,故斜率一直大于0 ，从而证明正切函数是在（-2/π，2/π）单调递增，由周期性可以推出在区间（-2/π+2kπ，2/π+2kπ）k∈Z，上单调递增，但不是定义域内单调递增。

Answer 2

证明：设任意的x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，
所以有f（x₁）-f（x₂）=x12-x22=（x₁+x₂）（x₁-x₂）
因为0＜x₁＜x₂，
所以x₁-x₂＜0，x₁+x₂＞0，
所以f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
故函数y=x²在x∈（0，+∞）是单调递增函数．