Question

已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A（2，3），且点F（2，0）为其右焦点，（ I）求椭圆C的方程；（ I I）

已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A（2，3），且点F（2，0）为其右焦点，（ I）求椭圆C的方程；（ I I）问是否存在直线l：y＝32x+t，使直线l与椭圆C有公共点，且原点到直线l的距离为4？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）∵中心在坐标原点O的椭圆C经过点A（2，3），且点F（2，0）为其右焦点，
∴c=2，左焦点F′（-2，0），
∴2a=|AF|+|AF′|=

(2+2)2+32

+

(2?2)2+32

=8，
解得c=2，a=4，
又a²=b²+c²，所以b²=12，故椭圆C的方程为

x2

16

+

y2

12

=1．
（2）假设存在符合题意的直线l，设其方程为y=

3

2

x+t，
由

x2 16 + y2 12 ＝1 y＝ 3 2 x+t

，得3x²+3tx+t²-12=0，
∵直线l与椭圆有公共点，∴△=（3t）²-4×3（t²-12）≥0，
解得-4

3

≤t≤4

3

，
∵直线OA与l的距离4=

|t|

9 4 +1

，从而t=±2

13

，
由于±2

13

?[-4

3

，4

3

]，
所以符合题意的直线l不存在．