Question

如图，⊙O为△ABC的外接圆，∠BAC=60°，H为边AC，AB上的高BD，CE的交点，在BD上取点M，使BM=CH．（1）求

如图，⊙O为△ABC的外接圆，∠BAC=60°，H为边AC，AB上的高BD，CE的交点，在BD上取点M，使BM=CH．（1）求证：∠BOC=∠BHC；（2）求证：△BOM≌△COH；（3）求MHOH的值．

Answer 1

解答：解：（1）∵∠BAC=60°，∠BOC与∠BAC为

BC

所对的圆心角和圆周角，
∴∠BOC=2∠BAC=120°，
又∵BD、CE为三角形的高，
∴∠BHC=∠DHE=180°-∠BAC=120°，
∴∠BOC=∠BHC；

（2）∵∠BOC=∠BHC，
∴B、O、H、C四点共圆，∠OBM=∠OCH，
∵O为△ABC的外心，
∴OB=OC，
又∵BM=CH，
∴△BOM≌△COH；

（3）作OG⊥BD，垂足为G，由（2）可知OM=OH，∠BOM=∠COH，
∴∠MOH=∠BOC=120°，∠OHG=30°，
在Rt△OHG中，
HG=OH?cos30°=

3

2

OH，
∴MH=2HG=

3

OH，
∴

MH

OH

=

3

．