如图所示，⊙O的直径AB长为6，弦AC长为2，∠ACB的平分线交⊙O于点D．（1）求证：AD=BD；（2）求CD的长
如图所示，⊙O的直径AB长为6，弦AC长为2，∠ACB的平分线交⊙O于点D．（1）求证：AD=BD；（2）求CD的长．...
如图所示，⊙O的直径AB长为6，弦AC长为2，∠ACB的平分线交⊙O于点D．（1）求证：AD=BD；（2）求CD的长．
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解答：（1）证明：∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD，
∴弧AD=弧BD，
∴AD=BD；
（2）解：作CH⊥AB于H，连接OD，CD与AB交于E点，如图，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°，
在Rt△ABD中，∵AD=BD，
∴△ABD为等腰直角三角形，
∴OD⊥AB，
∵∠CAH=∠BAC，
∴Rt△ACH∽Rt△ABC，
∴AC：AB=AH：AC，即2：6=AH：2，解得AH=
，
∴OH=OA-AH=3-
=
在Rt△ACH中，CH=
=
，
∵CH∥OD，
∴△CHE∽△DOE，
∴
=
=
，即
=
=
=
，
即HE=
OE，CE=
DE，
而HE+OE=
，
∴
OE+OE=
，解得OE=
在Rt△ODE中，DE=
=
，
∴CE=
?
=
，
∴CD=DE+CE=4+
．
∴∠ACD=∠BCD，
∴弧AD=弧BD，
∴AD=BD；
（2）解：作CH⊥AB于H，连接OD，CD与AB交于E点，如图，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°，
在Rt△ABD中，∵AD=BD，
∴△ABD为等腰直角三角形，
∴OD⊥AB，
∵∠CAH=∠BAC，
∴Rt△ACH∽Rt△ABC，
∴AC：AB=AH：AC，即2：6=AH：2，解得AH=
| 2 |
| 3 |
∴OH=OA-AH=3-
| 2 |
| 3 |
| 7 |
| 3 |
在Rt△ACH中，CH=
| AC2?AH2 |
4
| ||
| 3 |
∵CH∥OD，
∴△CHE∽△DOE，
∴
| HE |
| OE |
| CE |
| DE |
| CH |
| OD |
| HE |
| OE |
| CE |
| DE |
| ||||
| 3 |
4
| ||
| 9 |
即HE=
4
| ||
| 9 |
4
| ||
| 9 |
而HE+OE=
| 7 |
| 3 |
∴
4
| ||
| 9 |
| 7 |
| 3 |
27?12
| ||
| 7 |
在Rt△ODE中，DE=
| OD2+OE2 |
36?9
| ||
| 7 |
∴CE=
36?9
| ||
| 7 |
4
| ||
| 9 |
16
| ||
| 7 |
∴CD=DE+CE=4+
| 2 |
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