Question

如图所示，过圆O：x2+y2=4与y轴正半轴的交点A作圆的切线l，M为l上任意一点，再过M作圆的另一切线，切点为

如图所示，过圆O：x2+y2=4与y轴正半轴的交点A作圆的切线l，M为l上任意一点，再过M作圆的另一切线，切点为Q，当点M在直线l上移动时，求三角形MAQ的垂心的轨迹方程．

Answer 1

由题意设M点坐标（m，2）（m≠0），则以MO为直径的圆的方程为(x?

m

2

)2+(y?1)2＝

1

4

(m2+4)，
又圆O的方程为x²+y²=4，两式作差得：mx+2y=4．
联立

mx+2y＝4 x2+y2＝4

，解得

x＝ 8m m2+4 y＝ 8?2m2 m2+4

或

x＝0 y＝2

．
则点Q的横坐标为

8m

m2+4

．
由于AM垂直于y轴，于是垂线BQ就垂直于x轴，因此B、Q横坐标相同．
又MA、MQ是圆的两条切线，于是MA=MQ，因此可知MH（H为三角形MAQ的垂心）过AQ中点，
而由圆的对称性可知，MO也过AQ的中点，于是可知M、H、O三点共线．
由直线MO的方程为y=

2

m

x，
代入Q点横坐标得H点的纵坐标为y＝

16

m2+4

．
∴三角形MAQ的垂心的轨迹方程为

x＝ 8m m2+4 y＝ 16 m2+4

．
消掉m得：x²+y²-4y=0 （x≠0）．