Question

已知函数f(x)=(2ax+a^2-1)/(x^2+1),其中a∈R,（1）当a=1时,求曲线y=f(x)在原点处的切线方程

（2）求f(x)的单调区间（3）f(x)在【0,+无穷）上存在最大值和最小值,求a的取值范围
（要规范书写的解答过程）

Answer 1

1）a=1时，f(x)=2x/(x²+1)
f'(x)=2(1-x²)/(x²+1)²
f'(0)=2
在(0,0)处的切线为y=2x

2)f'(x)=[2a(x²+1)-(2ax+a²-1)(2x)]/(x²+1)²=2[-ax²-(a²-1)x+a]/(x²+1)² =-2(ax-1)(x+a)/(x²+1)²
讨论a
当a=0时，f'(x)=2x/(x²+1)², 单调增区间为(0,+∞), 单调减区间为(-∞,0)
当a>0时，单调增区间为：(-a, 1/a), 单调减区间为：(-∞, -a), (1/a, +∞)
当a<0时，单调增区间为：(-∞, 1/a), (-a, +∞), 单调减区间为(1/a, -a)

3)由2）的分析，在x>=0区间，f(0)=a²-1
当a=0时，只在x=0有最小值， 没有最大值，不符；
当a>0时，最大值为f(1/a),要使其存在最小值，只能在端点x=0处取得，而f(+∞)=0, 因此有f(0)<=0, 即a²-1<=0, 得：0<a<=1
当a<0时，最小值为f(-a), 要使其存在最大值，只能在端点x=0处取得，因此有a²-1>=0,得：a<=-1
综合得a的取值范围是：(0,1]U(-∞, -1]

Answer 2

a＝1时，fx＝2x/(x2－1),对其求导，等于分母的平方分之分子乘以分母的导数减去分母乘以分子的导数，把x等于0带入，可求得切线斜率，第一问完事