Question

怎样用极限的定义证函数的连续性

Answer 1

要用极限的定义证明一个函数的连续性，我们需要证明三个条件：函数在某一点的极限存在，函数在该点处有定义，且函数在该点的极限等于该点的函数值。

具体而言，设函数为 f(x)，我们要证明 f(x) 在某一点 a 处连续。下面是证明连续性的步骤：

1. 证明函数在点 a 处有定义。也就是要证明 a 在函数的定义域范围内。

2. 证明函数在点a 的极限存在。使用极限定义来证明该极限存在。

a. 证明左极限存在：要证明lim(xa-) f(x) 存在。使用极限定义，对于任意给定的ε>0，存在δ1>0，对于所有满足0<|x-a|<δ1的x，有|f(x) - L1|<ε，其中 L1 是左极限的值。

b. 证明右极限存在：要证明lim(xa+) f(x) 存在。使用极限定义，对于任意给定的ε>0，存在δ2>0，对于所有满足0<|x-a|<δ2的x，有|f(x) - L2|<ε，其中 L2 是右极限的值。

3. 证明函数在点a的极限等于该点的函数值。也就是要证明lim(xa) f(x) = f(a)。使用极限定义，对于任意给定的ε>0，存在δ>0，对于所有满足0<|x-a|<δ的x，有|f(x) - f(a)|<ε。

如果我们能够依次证明上述三个条件，那么我们就可以得出结论：函数 f(x) 在点a处连续。

需要注意的是，证明连续性的具体步骤可能会根据具体的问题和函数类型而有所差异。以上提供的是一般的证明连续性的方法，但可能需要根据具体情况进行调整和补充证明的步骤。

Answer 2

　　证明函数f(x，y)在某点的邻域内连续，一般按函数连续的定义进行证明：
　　1）函数在该点有定义；
　　2）函数在该点要存在极限(即左极限等于右极限)；
　　3）函数在该点的极限值等于函数在该点的函数值。
　　函数连续的严格描述：设函数y=f（x）在x0点附近有定义，如果有lim(x->x0) f(x)=f(x0)，则称函数f在x0点连续。如果定义在区间I上的函数在每一点x∈I都连续，则说f在I上连续，此时，它在直角坐标系中的图像是一条没有断裂的连续曲线。