Question

设α为n维列向量,E为n阶单位矩阵,证明A=E-2αα^T/(α^Tα)是可逆矩阵

Answer 1

证明: 因为 A=E-2αα^T/(α^Tα)

所以 A^T=E^T-2(αα^T)^T/(α^Tα)=E-2αα^T/(α^Tα)

所以 AA^T = [E-2αα^T/(α^Tα)][E-2αα^T/(α^Tα)]

= E-2αα^T/(α^Tα)-2αα^T/(α^Tα)+4αα^Tαα^T/(α^Tα)^2

= E-4αα^T/(α^Tα)+4α(α^Tα)α^T/(α^Tα)^2

= E-4αα^T/(α^Tα)+4αα^T/(α^Tα)

= E

所以A是正交矩阵

扩展资料

可逆矩阵的性质：

1、可逆矩阵一定是方阵。

2、如果矩阵A是可逆的，其逆矩阵是唯一的。

3、A的逆矩阵的逆矩阵还是A。记作（A-1）-1=A。

4、可逆矩阵A的转置矩阵AT也可逆，并且（AT）-1=（A-1）T (转置的逆等于逆的转置）。

5、若矩阵A可逆，则矩阵A满足消去律。即AB=O（或BA=O），则B=O，AB=AC（或BA=CA），则B=C。

6、两个可逆矩阵的乘积依然可逆。

7、矩阵可逆当且仅当它是满秩矩阵。

Answer 2

证明: 因为 A=E-2αα^T/(α^Tα)
所以 A^T=E^T-2(αα^T)^T/(α^Tα)=E-2αα^T/(α^Tα)
所以 AA^T = [E-2αα^T/(α^Tα)][E-2αα^T/(α^Tα)]
= E-2αα^T/(α^Tα)-2αα^T/(α^Tα)+4αα^Tαα^T/(α^Tα)^2
= E-4αα^T/(α^Tα)+4α(α^Tα)α^T/(α^Tα)^2
= E-4αα^T/(α^Tα)+4αα^T/(α^Tα)
= E
所以A是正交矩阵.

追问

证明A是可逆矩阵。