Question

高二数学题：关于双曲线 结果越详细越好！麻烦各位高手了。谢谢！

已知点F1,F2分别是双曲线X^2/a^2-Y^2/b^2=1的左右焦点，过点F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若△ABF2锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围？

Answer 1

F1F2长度为2c；
F1，A，B的横坐标均为-c，而A，B满足双曲线方程X^2/a^2-Y^2/b^2=1；
可解得A，B的纵坐标为bb/a，-bb/a。
则直角三角形AF1F2中，已知F1F2=2c，AF1=bb/a，Tan[F2AF1]=2ca/bb

三角形ABF2为等腰三角形，角F2AB=角F2BA。
若三角形ABF2为锐角三角形，则:角BF2A<90。即:角F2AB+角F2BA>90
所以角F2AB>45
Tan[F2AF1]>1。

所以2ca/bb>1

bb=cc-aa

所以2ca>cc-aa

移项，同时除以aa，用e代替c/a得
ee-2e-1〈0

配方得：
(e-1)(e-1)-2〈0

所以

e-1〈根号2

e〈1+根号2